Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu sistem yang terdiri atas dua persamaan linier yang mempunyai dua variabel. Dalam sebuah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) biasanya melibatkan dua persamaan dengan dua variabel. dan cara mencarinya dapat menggunakan Metode Substitusi, Eliminasi, Gabungan, Matrik dan Grafik.

Secara singkat Sistem linear dua persamaan dengan dua variabel sistem apa saja yang dapat ditulis dalam bentuk.

${\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}}$

di mana salah satu konstanta dapat nol dengan pengecualian bahwa setiap persamaan harus memiliki setidaknya satu variabel di dalamnya.

Juga, sistem disebut linier jika variabelnya hanya untuk kekuatan pertama, hanya dalam pembilang dan tidak ada produk dari variabel dalam salah satu persamaan.

Berikut adalah contoh Sistem persamaan linear Dua Variabel dengan angka.

${\begin{cases}3x-y=7\\2x+3y=1\end{cases}}$

Sebelum kita membahas bagaimana menyelesaikan sistem, kita harus terlebih dahulu berbicara tentang apa solusi untuk sistem persamaan. Solusi untuk sistem persamaan adalah nilai $x$ dan nilai $y$ , ketika diganti ke dalam persamaan, memenuhi kedua persamaan dengan dengan nilai $x$ dan nilai $y$ sama .

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

Untuk contoh diatas penyelesaianya adalah $x=2$ dan $y=-1$ , untuk pembuktiannya sebagai berikut

${\begin{aligned}3x-y=7&\rightarrow 3(2)-(-1)=7\\&\rightarrow 6+1=7\\&\rightarrow 7=7\end{aligned}}$ dan ${\begin{aligned}2x+3y=1&\rightarrow 2(2)+3(-1)=1\\&\rightarrow 4-3=1\\&\rightarrow 1=1\end{aligned}}$

Jadi, cukup yakin bahwa $x=2$ dan $y=-1$ adalah solusi untuk sistem. Jangan khawatir tentang bagaimana kita mendapatkan nilai-nilai ini. Ini akan menjadi sistem pertama yang kami selesaikan ketika kami masuk ke dalam contoh.

Perhatikan sangant penting bahwa mencari pasangan angka atau nilai bagi nilai $x$ dan nilai $y$ yang memenuhi kedua persamaan. Contohnya, $x=1$ dan $y=-4$ akan memenuhi persamaan pertama saja, tetapi bukan persamaan kedua dan karenanya bukan solusi bagi sistem persamaan diatas.

Sekarang, apa yang diwakili oleh solusi untuk sistem dua persamaan? Nah jika Anda memikirkannya, kedua persamaan dalam sistem garis. Jadi, mari gambarkan mereka dan lihat apa yang kita dapatkan.

Seperti yang Anda lihat solusi untuk sistem persamaan adalah koordinat titik di mana dua garis berpotongan (titik potong). Jadi, ketika memecahkan sistem linear dengan dua variabel kita benar-benar bertanya di mana dua garis akan bersilangan (berpotongan).

Dalam menyelesaikan sisitem persamaan linear dua variabel ada banyak cara untuk mendapatkan solusi dari persamaan, berikut ini cara mencari solusi dengan berbagai macam cara beserta contoh soal dan solusinya.

Metode Substitusi
Metode Eliminasi
Dengan Gabungan
Dengan Matrik
Metode Grafik (Semua soal pada pembuktian)

Metode Subtitusi

Pada bagian ini, kami meninjau teknik aljabar sepenuhnya untuk memecahkan sistem, metode substitusi. Idenya adalah untuk menyelesaikan satu persamaan untuk salah satu variabel dan menggantikan hasilnya ke persamaan lainnya.

Cara menyelesaikan SPLDV dengan beberapa cara :

Ubahlah persamaan dari SPLDV menjadi $y={\frac {p-ax}{b}}$ atau $x={\frac {q-cx}{d}}$
Setelah langkah pertama subtitusikan nilai $x$ atau $y$ yang diperoleh pada persamaan yang lainnya (persamaan yang tidak dirubah).
Sederhanakan atau selesaikan persamaan tersebut hingga mendapat nilai $x$ atau $y$ .
Substitusi nilai $x$ atau $y$ yang didapat pada langkah ketiga ke persamaan yang mana saja sehingga kita memperoleh nilai variabel baru
Penyelesaiannya adalah $(x,y)$ .

Setelah melakukan langkah substitusi ini, kita dibiarkan dengan persamaan tunggal dengan satu variabel, yang dapat diselesaikan dengan menggunakan aljabar.

Contoh 1 : Subtitusi SPLDV

Selesaikan dan cari solusi untuk $x$ dari SPLDV berkut ini

${\begin{cases}2x+y=-3\\3x-2y=-8\end{cases}}$

Penyelesaian :

Carilah persamaan $y$ dari persamaan bentuk umum yang mana saja. Jika Anda memilih persamaan pertama, Anda dapat mengisolasi $y$ dalam satu langkah.

${\begin{aligned}2x+y&=-3\\y&=-3-2x\\\end{aligned}}$

Jika anda memilih persamaan yang kedua mungkin langkahnya akan lebih sulit, tapi kami akan mencobanya

${\begin{aligned}3x-2y&=-8\\-2y&=-8-3x\\y&={\frac {-(3x+8)}{-2}}\\y&={\frac {3x+8}{2}}\end{aligned}}$

Kedua persamaan $y$ diatas dapat digunakan untuk mencari solusi untuk nilai $x$ dan $y$ , tapi kali ini kita akan menggunakan persamaan $y$ yang pertama agar lebih mudah. Tapi jika kalian ingin menggunakan persamaan $y$ yang kedua langkahnya sama juga.

Pertama, subtitusikan persamaan $y=-3-2x$ ke persamaan kedua $3x-2y=-8$ yang ada di soal ( ganti nilai dari $y$ dari $3x-2y=-8$ dengan $-3-2x$ ), menjadi

${\begin{aligned}3x-2y&=-8\\3x-2(-3-2x)&=-8\\3x+6+4x&=-8\\7x+6&=-8\\7x&=-8-6\\7x&=-14\\x&={\frac {-14}{7}}\\x&=-2\end{aligned}}$

Dari hasil yang kita dapat setelah subtitusi, ini artinya nilai $x=-2$ , untuk mencari nilai dari $y$ kita perlu mensubtitusikan $x=-2$ ke persamaan yang ada di soal.

misal ke persamaan $3x-2y=-8$ maka hasilnya

${\begin{aligned}3x-2y&=-8\\3(-2)-2y&=-8\\-6-2y&=-8\\-2y&=-8+6\\-2y&=-2\\y&={\frac {-2}{-2}}\\y&=1\end{aligned}}$

Jadi, untuk solusi dari SPLDV di atas adalah $x=-2$ dan $y=1$ atau ditulis $(-2,1)$ .

Pembuktian

Metode Eliminasi

Pada bagian ini, tujuannya adalah untuk meninjau metode aljabar lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang disebut metode eliminasi atau metode penambahan.

Metode ini memiliki banya kelebihan di banding menggunakan metode subtitusi untuk menyelesaikan SPLDV.

Cara menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

Menyamakan salah satu nilai dari variabel $x$ atau $y$ dari kedua persamaan dengan cara mengallkannya dengan angka lain .
Hilangkan variabel yang memiliki nilai koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
Lakukan langkah sebelumnya dengan mengubah variabel yang di hilangkan untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui.
Penyelesaiannya adalah $(x,y)$

Seperti sistem berikut ini:

${\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}}$

Kita bisa menambahkan persamaan bersama untuk menghilangkan variabel $y$ .

${\frac {{\begin{aligned}x+y&=5\\x-y&=1\end{aligned}}+}{\begin{aligned}2x\;&=6\end{aligned}}}$

Dari hasil eleminadi diatas diperoleh

${\begin{aligned}2x&=6\\x&={\frac {6}{2}}\\x&=3\end{aligned}}$

Pada titik ini, kami memiliki koordinat $x$ dari solusi simultan, jadi yang harus dilakukan hanyalah melakukan penguranagn untuk menemukan nilai $y$ yang sesuai.

${\frac {{\begin{aligned}x+y&=5\\x-y&=1\\\end{aligned}}-}{2y=4}}$

Jadi nilai dari $y$ adalah

${\begin{aligned}2y&=4\\y&={\frac {4}{2}}\\y&=2\end{aligned}}$

Jadi nilai $x=3$ dan $y=2$ atau titik potog dari ${\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}}$ adalah $(3,2)$ .

Contoh 1: Eleminasi SPLDV

Carilah solusi untuk nilai x dan y dari ${\begin{cases}5x-3y=-1\\3x+2y=7\end{cases}}$

Penyelesaian

Pertama kita perlu membuat salah satu variabel $x$ atau $y$ sama misal kita akan menyamakan nilai $y$ pada soal ini dan akan mendapat nili dari $x$ , jadi

${\begin{cases}5x-3y=-1{\xrightarrow[{}]{\times 2}}10x-6y=-2\\3x+2y=7{\xrightarrow[{}]{\times 3}}9x+6y=21\end{cases}}$

Jumlahkan kedua persamaan diata sehingga

${\frac {{\begin{aligned}10x-6-y&=-2\\9x+6y&=21\\\end{aligned}}+}{19x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=19}}$

Jadi nilai $x$ adalah

${\begin{aligned}19x&=19\\x&={\frac {19}{19}}\\x&=1\end{aligned}}$

Kedua, untuk mencari nilai $y$ kita perlu menyamakan nilai $y$ dari persamaan ${\begin{cases}5x-3y=-1\\3x+2y=7\end{cases}}$ ,sehingga menjadi

${\begin{cases}5x-3y=-1{\xrightarrow[{}]{\times 3}}15x-9y=-3\\3x+2y=7{\xrightarrow[{}]{\times 5}}15x+10y=35\end{cases}}$

Kurangkan persamaan diatas agar kita mendapat nilai dari $y$ , sehingga menjadi

${\frac {{\begin{aligned}15x-9y&=-3\\15x+10y&=35\\\end{aligned}}-}{-19y\;\;=-38}}$

Jadi nilai $y$ nya dalah

${\begin{aligned}-19y&=-38\\y&={\frac {-38}{-19}}\\y&=2\end{aligned}}$

Jadi nilai $x=1$ dan $y=2$ atau titik potog dari ${\begin{cases}5x-3y=-1\\3x+2y=7\end{cases}}$ adalah $(1,2)$ .

Pembuktian

Metode Gabungan

Metode Gabungan adalah metode untuk menemukan solusi dari SPLDV dengan menggabungkan kedua cara eleminasi dan subtitusi agar mendapat hasil dengan cepat.

Cara menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:

Menyamakan salah satu nilai dari variabel $x$ atau $y$ dari kedua persamaan dengan cara mengallkannya dengan angka lain (seperti metode eliminasi)
Hilangkan variabel yang memiliki nilai koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
Setelah mendapat nilai $x$ atau $y$ Gunakan metode substitusi untuk mendapatkan nilai variabel kedua yang belum diketahui.
Penyelesaiannya adalah $(x,y)$ .

Dibanding kedua metode diatas metode ini lebih cepat menyelesaikan permasalahan SPLDV dalam banyak hal, seperti pada contoh berikut ini

Contoh 1:Gabungan SPLDV

Selesaikan SPLDV berikut ini

${\begin{cases}12x+5y=11\\3x-4y=1\end{cases}}$

Penyelesaian

Untuk menghilangkan variabel $x$ , kita bisa mengalikan persamaan kedua dengan $4$

${\begin{cases}12x+5y=11\\3x-4y=1{\xrightarrow[{}]{\times 4}}12x-16y=4\end{cases}}$

Untuk mendapat nilai dari $y$ kita perlu mengurangkan persamaan tersebut sehingga menghasilkan

${\frac {{\begin{aligned}12x+5y&=11\\12x-16y&=4\\\end{aligned}}-}{21y=7}}$

Selesaikan persamaan tersebut sehingga

${\begin{aligned}21y&=7\\y&={\frac {7}{21}}\\y&={\frac {1}{3}}\\\end{aligned}}$

Setelah kita mendapat nilai $y$ , tinggal mensubtitusikannya ke persamaan yang ada di soal sehingga mendapat nilai dari $x$ , dengan

${\begin{aligned}3x-4y&=1\\3x&=1+4y\\3x&=1+4({\frac {1}{3}})\\3x&=1+{\frac {4}{3}}\\3x&={\frac {3}{3}}+{\frac {4}{3}}\\3x&={\frac {7}{3}}\\\\x&={\frac {\frac {7}{3}}{3}}\\x&={\frac {7}{3\times 3}}\\x={\frac {7}{9}}\end{aligned}}$

Penyelesainnya penjang karena nilai $x$ dan $y$ bukan bilangan bulai meainkan bilangan pecahan

Jadi penyelesaianya adalah $x={\frac {7}{9}}$ dan $y={\frac {1}{3}}$ atau $({\frac {7}{9}},{\frac {1}{3}})$

Pembuktian

Metode Matrik

Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan tetapi yang pertama harus dikuasai untuk menemukan kebalikan dari matriks adalah inverse matrik $A^{-1}$ dari matrik $A$

Cari menvari materik $A$ dari persamaan adalah misal

${\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}}$

maka matrika $A$ adalah

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

dan persamaan parametrik untuk SPLD adalah

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}}$

Matriks $A$ akan memiliki invers $A^{-1}$ jika dan hanya jika determinan A tidak sama dengan nol.

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

${\begin{aligned}\det A&\neq 0\\{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}&\neq 0\\(ad-bc)&\neq 0\\\end{aligned}}$

kemudian

${\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{\det A}}adj\;A\\&={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

Kita sekarang akan dalam contoh menunjukkan bagaimana memecahkan sistem persamaan menggunakan matriks dan kebalikan dari matriks.

Contoh 1: Matriks

${\begin{cases}3x+y=5\\2x-y=0\end{cases}}$

Penyelesaian

Asalkan kita tahu bagaimana memperbanyak matriks kita menyadari bahwa persamaan kita dapat ditulis persamaan matrik sebagai

${\begin{bmatrix}3&1\\2&-1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\0\end{bmatrix}}$

Pertama kita menemukan kebalikan dari matriks koefisien:

${\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{\det A}}adj\;A\\&={\frac {1}{3.(-1)-1.2}}{\begin{bmatrix}-1&-1\\-2&3\end{bmatrix}}\\&=-{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}-1&-1\\-2&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Langkah selanjutnya adalah mengalikan kedua sisi persamaan matriks kita dengan matriks invers:

$A^{-1}.A.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=A^{-1}{\begin{bmatrix}p\\q\end{bmatrix}}$

${\begin{aligned}-{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}-1&-1\\-2&3\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}3&1\\2&-1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}&=-{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}-1&-1\\-2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\0\end{bmatrix}}\\-{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}-1.3+-1.2&-1.1+-1.-1\\-2.3+3.2&-2.1+3.-1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}&=-{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}-1.5+-1.0\\-2.5+3.0\end{bmatrix}}\\-{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}-5&0\\0&-5\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}&=-{\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}-5\\-10\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Jika persamaan matrik sudah menunjukan matrik identitas

$i={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

maka, solusi untuk SPLDV adalah hasil dari materik tersebut dikali matrik $x,y$ dari soal di atas didapat

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1.x+0.y\\0.x+1.y\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\end{aligned}}$