Polinomial: Metode dan Soal dari Skema Horner

Metode Horner (atau skema Horner) adalah algoritma untuk evaluasi polinomial (Suku Banyak). Meskipun dinamai menurut William George Horner, metode ini jauh lebih tua, karena telah dikaitkan dengan Joseph-Louis Lagrange oleh Horner sendiri, dan dapat ditelusuri kembali ratusan tahun ke ahli matematika Cina dan Persia.

Misal, kita akan mencari nilai suku banyak dari f(x)=ax³+bx²+cx+d, untuk x=k, maka Skema Hornernya seperti

Agar lebih memahami tentang cara Horner, pelajarilah contoh soal berikut.

Contoh soal

Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini.
1. f(x) = x³ + 2x² + 3x – 4 untuk x = 5
2. f(x) = 2x³ – 3x² + 9x + 12 untuk x = ½

Penyelesaian :

Jadi nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 186.

Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = ½ adalah 16.

Menggunakan Teorema Sisa

Misalkan f(x) = x⁵ + 2x⁴ – 3x³ – x² + 7x – 5

• Tentukan hasil bagi dan sisa f(x) jika dibagi dengan x + 3.
• Gunakan Teorema Sisa untuk menentukan f(–3).

Pembahasan

• Karena x + 3 = x – (–3), maka kita dapat melakukan pembagian suku banyak seperti berikut.
  
  Hasil baginya adalah x⁴ – x³ – x + 10 dan sisanya adalah –35.
• Berdasarkan Teorema Sisa, f(–3) merupakan sisa pembagian f(x) oleh x – (–3) = x + 3. Dari bagian (1) kita telah menemukan sisanya adalah –35. Sehingga f(–3) = –35.

Teorema berikut ini dapat membantu kita untuk mensketsa grafik fungsi suku banyak.

Teorema Faktor

Bilangan k merupakan pembuat nol f jika dan hanya jika x – k merupakan faktor f.

Bukti Jika k pembuat nol f maka f(k) = 0, dan berdasarkan Teorema Sisa, kita peroleh

sehingga x – k merupakan faktor f(x). Sebaliknya, jika x – k merupakan faktor dari f(x), maka f(x) = (x – k)H(x). Sehingga

Jadi, k merupakan pembuat nol f(x).

Memfaktorkan dengan Teorema Faktor

Misalkan f(x) = 2x³ + 3x² – 3x – 2. Tunjukkan bahwa f(1) = 0, dan gunakan fakta ini untuk memfaktorkan f(x).

Pembahasan Dengan substitusi kita dapat melihat bahwa

Selanjutnya kita gunakan cara Horner untuk menentukan bentuk pemfaktoran f(x).

Jadi, faktor pertama yang kita dapat dari x=1 adalah

(x-1)(2x^2+2x+2)

Sehingga dari hasil di atas kita dapat memfaktorkan f(x) sebagai berikut.

Menentukan Suku Banyak dengan Pembuat Nol Tertentu

Carilah suku banyak berderajat empat yang memiliki pembuat nol –2, 1, 2, dan 5, dan koefisien x² adalah 2.

Pembahasan Berdasarkan Teorema Faktor, x – (–2), x – 1, x – 2, dan x – 5 merupakan faktor-faktor suku banyak yang dimaksud. Misalkan

Jika kita kalikan f(x) dengan 2, maka

yaitu suku banyak yang dimaksud. Grafik suku banyak g ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Perhatikan bahwa pembuat nol g merupakan titik-titik potong grafik dengan sumbu-x.