Definisi, Rumus, Hubungan, Soal - Barisan dan Deret Aritmatika

Sebelum kita mempelajari tentang Barisan dan Deret aretmatika kita perlu mengetahui apa perbedaan dari barisan dan deret aritmatika.

Barisan adalah himpunan bilangan-bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Barisan kesatu disbut suku pertama dan suku ke-n dapat dituliskan sebagai $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n}$ .

Sedangkan deret adalah penjumlahan daru suatu barisan yang berurutan secara umum dapat dituliskan sebagai $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ . dalam pos ini adalah barisan aritmatika

Barisan aritmatika adalah urutan angka di mana perbedaan antara suku berturut-turut adalah konstan.

Poin-Poin Utama

Perilaku urutan aritmatika tergantung pada perbedaan umum (beda) b.
Urutan aritmatika dapat terbatas atau tidak terbatas.

Ketentuan Utama

Barisan aritmatika: Daftar angka yang diurutkan dimana perbedaan antara suku-suku yang berurutan adalah konstan.
infinite: Tanpa batas, tanpa akhir, tanpa ujung atau batas; banyak sekali.

Baris Aritmatika

Kemajuan aritmatika (arithmetic progression), atau barisan aritmatika, adalah urutan angka sehingga perbedaan antara suku-suku yang berurutan adalah konstan (tetap).

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

Misalnya urutannya $5,7,9,11,13\cdots$ adalah barisan aritmatika dengan beda (selisih) $2$ .

$a_{1}$ adalah suku pertama dari barisan aritmatika.
$b$ merupakan beda atau selisih barisan aritmatika.
$a_{n}$ adalah suku ke- $n$ atau sering juga dilambangkan dengan $U_{n}$ .

Perilaku barisan aritmatika tergantung pada perbedaan umum (beda) dilambangkan $b$ .

Jika perbedaan umum atau $b$ (beda), adalah:

Positif, urutannya akan berkembang hingga tak terbatas (+∞).
Negatif, urutannya akan mundur menuju infinity negatif (-∞).

Perhatikan bahwa istilah pertama dalam urutan dapat dianggap sebagai

Sebuah $a_{1}+0.b$ , urutan kedua dapat dianggap sebagai $a_{1}+1.b$ istilah ketiga dapat dianggap sebagai $a_{1}+2.b$ dan persamaan berikut memberikan suku ke sebagai $U_{n}$ :

$U_{n}=a_{1}+(n-1)b$

Dengan menggunakan rumus ini kida dapat mencari suku keberapapun seperi suku ke-50 misalnya.

Contoh soal

Diketahui barisan aritmatika dengan $U_{3}+U_{9}+U_{11}=75$ . Suku tengah barisan itu adalah $68$ dan banyak sukunya adalah $43$ , maka $U_{43}$ adalah

Penyelesaian:

Umpamakan $a$ adalah suku pertama dan $b$ adalah beda, maka

Untuk persamaan pertama, didapat

${\begin{aligned}U_{3}+U_{9}+U_{11}&=75\\(a+(3-1)b)+(a+(9-1)b)+(a+(11-1)b)&=75\\(a+2b)+(a+8b)+(a+10b)&=75\\3a+20b&=75\\\end{aligned}}$

Persamaan kedua, didapat dari suku tengah. cara mencarinya adalah

$U_{mid}=U_{{\frac {1}{2}}\times (43+1)}=U_{22}=68$

${\begin{aligned}U_{22}&=68\\a+(22-1)b&=68\\a+21b&=68\\\end{aligned}}$

Setelah itu menggunakan cara eliminasi kepada persamaan pertama dan kedua sehingga menjadi

${\begin{cases}3a+20b=75\\a+21b=68(\times 3)\rightarrow 3a+63b=204\end{cases}}$

dengan metode eliminasi didapat

${\begin{aligned}{\frac {{\begin{aligned}3a+63b&=204\\3a+20b&=75\end{aligned}}-}{43b=129}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}43b&=129\\b&={\frac {129}{43}}\\b&=3\\\end{aligned}}$

setelah itu subtitusikan $b=3$ ke persamaan pertama

${\begin{aligned}a+21b&=68\\a+21\times 3&=68\\a&=68-63\\a&=5\\\end{aligned}}$

Jadi kita telah mendapat $a=5$ dan $b=3$ , untuk mencari $U_{43}$ dengan

${\begin{aligned}U_{43}&=a+(n-1)b\\&=5+(43-1)3\\&=5+42\times 3\\&=5+126\\&=131\\\end{aligned}}$

jadi, $U_{43}=131$

Deret Aritmatika

Deret aritmarika adalah jumlah dari suatu barisan aritmatika misalnya $5+7+9+11$ ini akan menghasilkan jumlah $32$ .

Jika kita mendapat soal seperti diatas maka kida dapat dengan mudah menjawabnya. Lain jika kita mendapat soal dengan deret berjumlah 50 suku mungkin kia akan kesulitan untuk menjumlhakannya dengan kalkulator, maka dengan menggunkan aturan dari deret aritmatka kita dapat mendapatkannya dengan mudah.

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}(a_{1}+U_{n})\\&={\frac {n}{2}}(a_{1}+(a_{1}+(n-1)b))\\&={\frac {n}{2}}(2a_{1}+(n-1)b)\\\end{aligned}}$

dengan :

$S_{n}$ adalah jumlah- $n$ suku pertama
$U_{n}$ adalah suku ke- $n$
$a_{1}$ merupakan suku pertama dari barisan aritmatika
$b$ adalah selisi atau beda dari baris aritmatika

Kita dapat menggunakan semua rumus diatas, dari 3 rumus diatas masing-masing memiliki kelebihan pada saat digunakan.

Misal rumus deret pertama bisa kita gunakan pada saat barisan aritmatika memiliki jumlah suku ke-n nya dan rumus ketiga digunakan pada saat barisan memiliki beda dan jumlah suku ke-n nya tidak diketahui.

Contoh soal

Diketahui suku ke-3 dan suku ke-6 suatu baris aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 17. Jumlah 21 suku pertama deret tersebut adalah

Penyelesaian:

diketahui $U_{3}=8,U_{6}=17$

Pertama kita harus mencari beda dari baris aritmatika tersebut dengan

${\begin{aligned}b&={\frac {U_{6}-U_{3}}{6-3}}\\&={\frac {17-8}{3}}\\&={\frac {9}{3}}\\&=3\end{aligned}}$

Jadi, $b=3$ .

Kedua, kita perlu mencari suku pertamannya dengan

${\begin{aligned}U_{3}&=8\\a+(3-1)3&=8\\a+6&=8\\a&=2\end{aligned}}$

Langkah terakhir adalah mencari $S_{21}$ dengan

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)b)\\S_{21}&={\frac {21}{2}}(2\times 2+20\times 3)\\&={\frac {21}{2}}\times 64\\&=672\end{aligned}}$

Jadi, jumlah semua suku sampai $S_{21}=672$ .

Hubungan Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan deret aritmatika memiliki hubungan dengan menggunkan rumus yang ada kita dapat mencari suku ke-n dari sebuah pertannyaan dengan hanya diketahui dua (2) jumlah suku terakhirnya, dengan menggunkan rumus ini