Definisi, Rumus, Konvergen, Soal - Baris dan Deret Geometri

Berikut ini penjelsan dari baris dan deret geometri dari definisi umum dan perbedaaan hingga deret konvergen dan contoh soal dan pembahasan. Meliputi cara menghitung jumlah baris dan jumlah keseluruhan dari barisan geometri

Dalam matematika, perkembangan geometri, juga dikenal sebagai deret geometri, adalah deretan angka di mana setiap suku setelah suku pertama ditemukan dengan mengalikan yang sebelumnya dengan bilangan tetap, bukan nol yang disebut rasio umum. Sebagai contoh, urutan $2,6,18,54,\cdots$ adalah perkembangan geometrik dengan rasio 3. Demikian pula $10,5,2.5,1.25,\cdots$ adalah urutan geometris dengan rasio ${\frac {1}{2}}$ .

Contoh urutan geometrik dengan rasio = $r$ dan suku pertama $a$ .

Dimana $r\neq 0$ .

a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots

Rumus Barisan Geometri

Jika rasio umum adalah:

positif, semua istilah akan sama dengan istilah awal.
negatif, istilah akan bergantian antara positif dan negatif.
lebih besar dari 1, akan ada pertumbuhan eksponensial menuju infinity positif atau negatif (tergantung pada tanda istilah awal).
1, perkembangannya adalah urutan yang konstan.
antara −1 dan 1 tetapi tidak nol, akan ada peluruhan eksponensial menuju nol.
−1, nilai absolut dari setiap istilah dalam urutan adalah konstan dan istilah-istilah berganti dalam tanda.
kurang dari −1, untuk nilai absolut terdapat pertumbuhan eksponensial menuju tak terhingga (tidak bertanda), karena tanda bolak-balik.

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang menggunakan perbandingan rasio dua suku, untuk mencari nilai dari rasionya dapat dicari dengan rumus

$f={\frac {U_{n}}{U_{n-1}}}$

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

dimana $U_{n}$ adalah suku ke-n dari barisan geometri tersebut.

Untuk mencari suku ke-n dari barisan geometri dapat dengan menngunakan rumus

$U_{n}=ar^{n-1}$

dimana $r$ adalah rasionya dan $a$ adalah suku pertamanya.

Pembuktian

Diberikan $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasionya maka urutan dari barisan geometrinya adalah

${\begin{cases}U_{1}=a\\U_{2}=a\times r\rightarrow ar\\U_{3}=ar\times r\rightarrow ar^{2}\\U_{4}=ar^{2}\times r\rightarrow ar^{3}\\U_{n}=ar^{n-1}\end{cases}}$

atau dengan mengurutkannya menjadi $a,ar,a^{2},ar^{3},\cdots ,ar^{n-1}$ . Jadi terbukti rumus untuk $U_{n}$ atau suku ke-n.

Contoh Soal

Diketahui barisan geometri 2,6,18…, berapakah suku ke-15 dari baris tersebut

Penyelesaian

$U_{1}=2,U_{2}=6,U_{3}=18$ berapakah suku-15nya atau $U_{15}$

Pertama kita haris mencari rasionya dengan

$r={\frac {U_{3}}{U_{2}}}={\frac {18}{6}}=3$

dengan mengunakan rumus $U_{n}=ar^{n-1}$ , maka

${\begin{aligned}U_{n}&=ar^{n-1}\\U_{15}&=2\times 3^{15-1}\\&=2\times 3^{14}\\&=2\times 4.782.969\\&=9.565.938\\\end{aligned}}$

suku ke-15 bernilai $U_{15}=9.565.938$

Deret Geometri

Sama seperti deret aritmatika deret geometri adalah jumlah dari suku-suku pada barisan geometri. Untuk mendapatkan jumlah dari deret geometri dapat menggunakan rumus sebagai berikut

jika rasio dari deret geometri kurang dari 1 atau , maka rumusnya

$S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

atau jika rasionya lebih dari 1 atau ${\displaystyle r>1}”>, maka dapat mengunakan rumus</p> <p><img decoding=$

Denagn $S_{n}$ adalah lambang digunakan untuk deret geometri atau jumlah baris geometri dari suku ke-n.

Baik kedua rumus diatas dapat digunakan dengan soal yang sama, tetapi jika kalian lebih bijak menentukan yang mana rumus digunakan dalam suatu masalah maka kalian akan tidak kesulitan menemukan jawabannya

Contoh soal

suku pertama dari baris geometri adalah 2 dan rasionya adalah 3, jika jumlah n suku pertama dari deret tersebut adalah 80. maka banyak suku baris tersebut adalah

Penyelesaian

Di soal sudah dijelaskan bahwa suku pertamanya adalah 2 atau $a=2$ , dan rasionya adalah 3 atau $r=3$ , dan jumlah suku ke-n nya adalah 80 atau $S_{n}=80$

Dari rasio = 3 jadi kita pakai rumus yang kedua yang menyatakan bahwa ${\displaystyle r>1}”> denga rumus</p> <p><img decoding=$

${\begin{aligned}80&={\frac {2(3^{n}-1)}{3-1}}\\80&={\frac {2\times 3^{n}-2}{2}}\\80\times 2&=2\times 3^{n}-2\\160+2&=2\times 3^{n}\\162&=2\times 3^{n}\\{\frac {162}{2}}=3^{n}\\81=3^{n}\end{aligned}}$

dari penyelesaian di atas bahwa $3^{n}=81$

maka nilai dari n adalah

${\begin{aligned}3^{n}&=81\\3^{n}&=3^{4}\\n&=4\end{aligned}}$

jadi, banyaknya suku dari baris geometri tersebut adalah 4 atau $n=4$ .

Deret Tak Hingga (Konvergen)

Barisan geometri tak hingga akan memiliki nilai konvergen (nilainya memusat) jika:

nilai rasionya berkisar antara -1 sampai 1 atau dengan

$S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

Kasus $S_{ganjil}$ dan $S_{genap}$

Jumlah dari suku tak hingga adalah

$S_{\infty }=S_{genap}+S_{ganjil}$ dan $r={\frac {S_{genap}}{S_{ganjil}}}$

Jumlah suku n yang bernilai genap dapat dicari dengan rumus

$S_{genap}=U_{2}+S_{4}+S_{6}+\cdots ={\frac {ar}{1-r^{2}}}$

Jumlah suku n yang bernilai ganjil dapat dicari dengan rumus

$S_{ganjil}=U_{1}+S_{3}+S_{5}+\cdots ={\frac {a}{1-r^{2}}}$

Kasus Bola Memantul

Jika bola dijatuhkan dengan ketinggian $h_{0}$ kemudian memantul dengan tinggi pantulan $r={\frac {m}{n}}$ dari ketinggian sebelumnya

Jumlah seluruh pantulan bola dan dapat membentul lintasan yang panjangnya $L$ dari awal pantulan hinggan berhenti dapat di cari dengan $L=2S_{\infty }-h_{0}$ atau $L=h_{0}({\frac {n+m}{n-m}})$
Jumlah lintasan yang dapat dibentuk bola dari pantulan ke-n hingga berhenti dapat dirumuskan dengan $L_{n}={\frac {2h_{0}r^{n}}{1-r}}$

Contoh Soal

Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan memantul menjadi ${\frac {3}{4}}$ -tinggi sebelumnya. Panjang lintasan yang dapat dibuat oleh bola tenis tersebut hingga terhenti adalah