Definisi, Rumus, Soal - Sistem Koordinat Kartesius

Berikut ini penjelasan mengenai sistem koordinat kartesius pada kelas 8 manfaat dan contoh soal beserta pembahasannya.

Sistem Koordinat kartesius adalah sistem untuk menandai letak suatu objek dalam bidang dengan bantuan dua garis saling tegak lurus. Garis terseut bisa dinamakan koordinat sumbu-x (absis) dan koordinat sumbu-y (ordinat) dan seriap objek ditandai dengan titik. seperti gambar berikut

Coordinate System — Definition & Examples - Expii

Selain pada bidang terdapat juga sisitem koordinat kartesius dalam ruang yang fungsinya hampir sama dengan bidang. Tapi pada ruang terdapat tambahan garis yakni koordinat sumbu-z seperti gambar berikut

KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

Tapi pada artikel ini, hanya dijelaskan pada bidang datar jika ingin melihat pada ruang bisa di lihat disini.

Sistem koordinat Cartesian adalah sistem koordinat yang menentukan letak setiap titik. Setiap garis disebut sumbu koordinat dan titik di mana mereka bertemu adalah asalnya pada koordinat (0, 0) (origin).

Koordinat juga dapat didefinisikan sebagai posisi proyeksi tegak lurus titik ke dua sumbu, dinyatakan sebagai jarak yang ditandatangani dari titik asal.

Sejarah

Menurut Wikipedia Adjektiva Cartesian merujuk pada ahli matematika dan filsuf Prancis René Descartes, yang menerbitkan gagasan ini pada tahun 1637. Itu ditemukan secara independen oleh Pierre de Fermat, yang juga bekerja dalam tiga dimensi, meskipun Fermat tidak mempublikasikan penemuan tersebut. Ulama Perancis Nicole Oresme menggunakan konstruksi yang mirip dengan koordinat Cartesian jauh sebelum zaman Descartes dan Fermat.

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

Baik Descartes dan Fermat menggunakan sumbu tunggal dalam perawatan mereka dan memiliki panjang variabel yang diukur sehubungan dengan sumbu ini.

Konsep menggunakan sepasang sumbu diperkenalkan kemudian, setelah Descartes ‘La Géométrie diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada 1649 oleh Frans van Schooten dan murid-muridnya. Para komentator ini memperkenalkan beberapa konsep sambil mencoba mengklarifikasi ide-ide yang terkandung dalam karya Descartes.

Pengembangan sistem koordinat Cartesian akan memainkan peran mendasar dalam pengembangan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz. Deskripsi dua koordinat pesawat kemudian digeneralisasikan ke dalam konsep ruang vektor.

Banyak sistem koordinat lain telah dikembangkan sejak Descartes, seperti koordinat kutub untuk pesawat, dan koordinat bola dan silinder untuk ruang tiga dimensi.

Kartesius di kehidupan sehari-hari

Bidang Koordinat Cartesian dalam Kehidupan Nyata
Bidang koordinat Kartesius x dan y bekerja dengan baik dengan banyak situasi sederhana dalam kehidupan nyata. Misalnya, jika Anda berencana untuk meletakkan furnitur yang berbeda di suatu ruangan, Anda dapat menggambar kotak dua dimensi yang mewakili ruangan dan menggunakan unit pengukuran yang sesuai.

Pilih satu arah menjadi x, dan arah lainnya (tegak lurus) menjadi y, dan tentukan lokasi sebagai titik awal Anda (mis., Koordinat nol pada kedua sumbu). Anda dapat menentukan posisi apa pun di ruangan dengan dua angka, dalam format (x, y), sehingga (3, 5) akan menjadi 3 meter di arah x dan 5 meter di arah y, dari yang Anda pilih (0 , 0) poin.

Anda dapat menggunakan pendekatan yang sama ini dalam banyak situasi. Yang perlu Anda lakukan adalah menentukan koordinat Anda, dan Anda bisa menggunakannya untuk menggambarkan lokasi di dunia nyata.

Ini adalah bagian penting dari melakukan banyak percobaan dalam fisika khususnya, atau untuk memetakan lokasi populasi organisme dalam biologi. Dalam pengaturan lain, layar ponsel cerdas Anda juga menggunakan bidang koordinat Cartesian untuk melacak di mana Anda menyentuh pada layar, dan file PDF atau gambar memiliki pesawat untuk menentukan lokasi dengan cara yang sama.

Anda juga dapat menggunakan bidang koordinat dengan sedikit lebih abstrak, untuk menggambarkan bagaimana satu kuantitas berbeda dengan yang lain. Dengan memberi label variabel independen x dan variabel dependen Anda y, Anda dapat menggunakan bidang koordinat untuk menggambarkan hampir semua hubungan.

Misalnya, jika variabel independen Anda adalah harga suatu barang dan variabel dependen adalah berapa banyak dari mereka yang Anda jual, Anda dapat membuat grafik di bidang koordinat untuk membantu Anda memahami hubungan.

Anda dapat menerapkan ini pada sejumlah besar masalah yang berbeda, karena bidang koordinat memungkinkan Anda untuk melihat bagaimana satu kuantitas berbeda satu sama lain secara visual.

Gambaran Umum

Konsep koordinat Cartesian digeneralisasi untuk memungkinkan sumbu yang tidak saling tegak lurus, atau unit yang berbeda di sepanjang masing-masing sumbu.

Dalam hal ini, setiap koordinat diperoleh dengan memproyeksikan titik ke satu sumbu sepanjang arah yang sejajar dengan sumbu lainnya (atau, secara umum, ke hyperplane yang ditentukan oleh semua sumbu lainnya).

Dalam sistem koordinat miring seperti itu perhitungan jarak dan sudut harus dimodifikasi dari yang ada di sistem Cartesian standar, dan banyak rumus standar (seperti rumus Pythagoras untuk jarak).

Untuk mendiskripsikan suatu objek berada pada suatu titik dalam format koordinat maka diperlukan, nilai x dan nilai y. Dengan format penulisan (x,y). (x,y) tidak dapat dibalik karena setiap koordinat telah menentukan tempatya sendiri dan setiap titik dapat diberi nama apapun, misal

titik P berada pada koordinat (3, 5) makagambarnya bisa seperti

P berada pada koordinat (3, 5) artinya titik P berada di nilai x =3 dan y = 5 setelah itu tarik garis sehingga membuat perpotonganya di sebut titik P.

Di gambar tersebut, terdapat angka romawi I, II, III, IV yang menandakan kuadran. Dan setiap kuadran memiliki artinya masing-masing penjelasannya seperti berikut ini

I berarti kuadran kesatu yang menandakan koordinat sumbu-x dan sumbu-y sama-sama bernilai positif.
II berarti kuadran kedua yang menandakan koordinat sumbu-x bernilai negatif dan sumbu-y bernilai positif.
III berarti kuadran ketiga menandakan koordinat sumbu–x dan sumbu-y sama-sama bernilai negatif.
IV berarti kudran keempat yang artinya koordinat sumbu-x bernilai positif dan sumbu-y bernilai negatif.

Contoh soal 1

Perhatikan koordinat kartesius di bawah ini, Carilah kedudukan titik pada tiap kuadran koordinat kartesius di baah ini. Dan carilah jarak tiap tiap titik terhadap sumbu-x dan sumb-y.

Koordinat Titik	Keterangan
A (2, 6)	Titik A berada di kudran I dan berjarak 2 satuan dari sumbu-y dan 6 satua dari sumbu-x.
B (3, 0)	Titik B berada di sumbu x dan berjarak 3 satuan dari sumbu-y
C (-2, 3)	Titik C berada di kuadran II dan berjarak -2 (2 satuan ke kiri) dari sumbu-y dan 3 satuan ke atas dari sumbu-x
D (0, 4)	Titik D berada di sumbu-y dan berjarak 4 satuan dari sumbu-x
E (-5, 0)	Titik E berada di sumbu-x dan berjarak -5 (5 satuan ke kiri) dari sumbu-y
F (-5, -3)	Titik F berada di kuadran III dan berjarak -5 (5 satuan ke kiri) dari sumbu-y dan -3 (3 satuan ke bawah) dari sumbu-x
H (0, -5)	Titik G berada di kuadran IV dan berjarak 5 satuan dari sumbu-y dan -4 (4 satuan ke bawah) dari sumbu-x
G (5, -4)	Titik H berada di sumbu-y dan berjarak -5 (5 satuan ke bawah) dari sumbu-x

Contoh soal 2

Tentukan bangun yang terbentuk dari posisi titik dari P (2, 1), Q (4, 1), R (4, -1) dan S (2, -1)?

Jawab :

Persegi dengan sisi = 2 satuan

Posisi Titik Asal Terhadap Titik Tertentu

Titik asal atau orogin adalah titik dimana koordinat sumbu-x dan sumbu-y bertemu, pada bidang datar titik asalnya adalah (0, 0). untuk membuat atau menyimpulkan posisi titik maka kita harus mengetahi posisi titik lainnya, misal

Tentukan posisi titik P (3, 5) terhadap titik asal

untuk menjawab soal diatas kita perlu mengetahui dimana titik P berada dan berapakah jarak titik P dan titik asal, maka langkah langkahnya sebagai berikut

Menentukan posisi titik P
Menggambar titik P di sumbu koordinat (sumbu-x dan sumbu-y)
Mengurangkan titik P dan titik asal
atau menghitung secara manual dari sumbu koordinat.
hasil pengurangan adalah posisi titik P terhadan titik asal
Tinggal mendiskripsikannya seperti contoh sebelumnya

Setelah mengetahui langkahnya mari kita, jawab sola diatas

Selelah itu, mengurangkan titik P dan titik asal O adalah titik asal, maka didapat

P (3, 5) – O(0, 0) adalah (3-0, 5-0) = (3, 5).

Untuk mengurangkan titik dengan titik maka kita harus mengurangkannya sesama jenis atau absis dengan absis dan ordinat dengan ordinat atau dengan kata lain misal

R (a, b) dan Q (c, d) cara mengurangkannya adalah R-Q= (a-c, b-d).

Jadi, posisi titik P (3, 5) terhadap titik asal adalah 3 satuan ke kiri dan 5 satuan ke atau dan berada di kuadran I.

Contoh soal

Pahami denah berkut ini

LAMPIRAN 1. SURAT PENELITIAN. Lampiran 1a. Surat Penelitian ...

Tentukan posisi Perumahan, Pemakaman, Pasar, Hutan, Tenda 1, Tenda 2, Pos 1, Pos 2 terhadap Tenda 1, Pos 1 dan Pasar.

Jawab

Pertama, tentukan koordinat masing masing posisi yang akan di tentukan hubungannya,

Objek	Tenda 1 (2, 0)	Pos 1 (2, 5)	Pasar (4, 3)
Perumahan (6, 5)	(6-2, 5-0) = (4, 5)	(6-2, 5-5) = (4, 0)	(6-4, 5-3) = (2, 2)
Pemakaman (-5, -2)	(-5-2, -2-0) = (-7, -2)	(-5-2, -2-5) = (-7, -7)	(-5-4, -2-3) = (-9, -5)
Pasar (4, 3)	(4-2, 3-0) = (2, 3)	(4-2, 3-5) = (2, -2)	(4-4, 3-3) = (0,0)
Hutan (-8, 5)	(-8-2, 5-0) = (-10, 5)	(-8-2, 5-5) = (-10, 0)	(-8-4, 5-3) = (-12, 2)
Tenda 1 (2, 0)	(2-2, 0-0) = (0, 0)	(2-2, 0-5) = (0, -5)	(2-4, 0-3) = (-2, -3)
Tenda 2 (0, 2)	(0-2, 2-0) = (-2, 2)	(0-2, 2-5) = (-2, -3)	(0-4-, 2-3) = (-4, -1)
Pos 1 (2, 5)	(2-2, 5-0) = (0-, 5)	(2-2, 5-5,) = (0, 0)	(2-4, 5-3) = (-2, 2)
Pos 2 (-4, 4)	(-4-2, 4-0) = (-6, 4)	(-4-2, 4-5) = (-6, -1)	(-4-4, 4-3) = (-8, 1)

Ini artinya adalah

Objek	Tenda 1 (2, 0)	Pos 1 (2, 5)	Pasar (4, 3)
Perumahan (6, 5)	(4, 5)	(4, 0)	(2, 2)
Pemakaman (-5, -2)	(-7, -2)	(-7, -7)	(-9, -5)
Pasar (4, 3)	(2, 3)	(2, -2)	(0,0)
Hutan (-8, 5)	(-10, 5)	(-10, 0)	(-12, 2)
Tenda 1 (2, 0)	(0, 0)	(0, -5)	(-2, -3)
Tenda 2 (0, 2)	(-2, 2)	(-2, -3)	(-4, -1)
Pos 1 (2, 5)	(0-, 5)	(0, 0)	(-2, 2)
Pos 2 (-4, 4)	(-6, 4)	(-6, -1)	(-8, 1)

Jarak Antar Titik

Yang dimaksudkan dengan jarak disini adalah garis lurus yang dapat di tarik dari 2 titik tertentu.

Untuk menemukan jaran antar titik atau distance yang dilambangkan dengan d kita dapat menentukannya dengan rumus misal jarak titik titik berikut ini $(x_{1},y_{1})$ dan $(x_{2},y_{2})$ kita dapat menggunkana rumus

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$

misal pada contoh soal menggunakan tabel di atas, berapakah jarak antara Pasar dengan Hutan?

Jawab :

${\begin{aligned}{\bar {PH}}&={\sqrt {(-8-4)^{2}+(5-3)^{2}}}\\&={\sqrt {(-12^{2}+2^{2})}}\\&={\sqrt {144+2}}\\&={\sqrt {148}}\\&\approx 12,17\end{aligned}}$