Ini Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran

Berikut Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran, apa sih Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran? apa sih guna dari Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam r Dua Lingkaran?

Yang dimaksud panjang garis singgung persekutuan dalam di sini adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam. Perhatikan gambar!!

garis-singgung-persekutuan-dalam-gspd-dua-lingkaran

Lingkaran besar A panjang jari-jari R dan lingkaran kecil B panjang jari-jari r. Garis AP dan garis BQ tegak lurus terhadap garis PQ, sehingga garis PQ menyinggung kedua lingkaran (jari-jari selalu tegak lurus garis singgung di titik singgung).

Dengan demikian garis PQ merupakan Garis Singgung Persekutuan Dalam (GSPD) lingkaran A dan lingkaran B. Jarak antara pusat lingkaran besar A dengan pusat lingkaran kecil B adalah AB = d. Panjang garis PT sama dengan panjang garis BQ dan garis PT sejajar garis BQ, sehingga PT = BQ = r. Garis PQ sejajar dan sama panjang dengan garis BT, sehingga PQ = BT = m.

maka berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut:

$PQ^2 =AB^2-AT^2$

atau

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

$\begin{aligned}AT&=R+r\\ AB&=d\\ PQ&=m \end{aligned}$

sehingga

$\begin{aligned}m^2&= d^2-(R+r)^2\\ m&= \sqrt{d^2-(R+r)^2}\end{aligned}$

m = PQ adalah panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran.
d = AB adalah jarak pusat lingkaran besar dengan pusat lingkaran kecil.
R adalah jari-jari lingkaran besar.
r adalah jari jari lingkaran kecil
dan R > r.

Sehingga, dari pembahasan mengenai panjang garis singgung persekutuan dalam di atas, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya.

Contoh 1.

Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat M dan N, dengan panjang jari-jari berturut-turut adalah 10 cm dan 5 cm. Jika jarak titik M dan N adalah 17 cm, maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah …

Diketahui : R = 10 cm, r = 5 cm dan p = 17 cm

$d = \sqrt{p^2-(R+r)^2}$

Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran tersebut adalah 8 cm.

Contoh 2.

Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 15 cm. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 17 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain!

Diketahui : d = 15 cm, p = 17 cm dan r = 3 cm

Ditanya : R = …

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lainnya adalah 5 cm.

Contoh 3.

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diberikan dua buah lingkaran yang berpusat di A dan B serta masing-masing lingkaran berjari-jari 16 cm dan 8 cm. Misal AB merupakan garis yang menghubungkan kedua titik pusat dengan panjang 30 cm serta MN merupakan garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran. Jika dibuat garis AO sedemikian hingga sejajar dengan garis MN serta perbandingan MC dan CN adalah 2 : 1. Berapakah luas bangun ACNO?

Dalam mencari luas bangun datar tersebut, jika diperhatikan bangun datar itu dapat dipandang sebagai bangun trapesium dengan AO dan CN sebagai dua sisi yang sejajar dan ON sebagai tingginya. Oleh karena itu, perhatikan