Rumus dan Pembuktian - Geometric Gradient

Halooo, kali ini kami akan membahas mengenai Gradien Geometri (Geometric Gradient) dalam ekonomi teknik. Sama seperti Gradien Aritmatika (Arithmetic Gradient) yang diturunkan dari Deret Aritmatika di matematika, Geometric Gradient juga diturunkan dari rumus Deret Geometri. Berikut ini penjelasan cara mencari rumus gradien geometri beserta pembuktiannya dan beberapa contoh soal

Geometric Gradient adalah jika peningkatan arus kas proporsional dengan jumlah uang periode sebelumnya, di mana hasil peningkatannya tidak dalam jumlah yang sama, melainkan semakin lama semakin besar dan terstruktur dan disebut juga fungsi per-tumbuhan. Simbol yang biasa digunakan adalah “g”.

Sebagai contoh, pendapatan suatu perusahaan saat ini 100 juta rupiah, dan ditargetkan meningkat rata-rata 10% dari tahun sebelumnya, maka cash flownya didapat seperti tabel dan grafik berikut.

Untuk tabenya dapat seperti ini

Tahun	Awal (Juta rupiah)	Akhir Tahun (Juta rupiah)	Jumlah Akhir
1	100		100
2	100	100 +10%(100) = 100 (1+0,1)¹	110
3	110	100 +10%(100) = 100 (1+0,1)²	121
4	121	100 +10%(100) = 100 (1+0,1)³	133,1
5	133,1	100 +10%(100) = 100 (1+0,1)⁴	146,41

Dari uraian tabel di atas diperoleh persamaan:

$100(1+g)^{n-1}$

atau secara umum dapat ditulis sebagai

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

$An=A_1 (1+g)^{n-1}$

dimana

g = peningkatan cash flow terhadap periode sebelumnya Geometric gradient

A_n= cash flow periode ke-n

A₁= cash flow pada periode awal

Karena pada Present worth P_n dari setiap cash flow A_n dan bunga adalah i, maka

$P_n=A_n (1+g)^{-n}$

Setelah itu kita bisa subtitusikan persamaan A_n ke P_n yang baru saja kita buat tadi dan akan menghasilkan

$P_n= A_1 (1+g)^{n-1} (1+g)^{-n}$

atau kita bisa tulis sebagai

$P_n= A_1 (1+i)^{-1}\sum_{x=1}^{n}\left ( \frac{1+g}{1+i} \right )^{x-1}$

Kasus Dimana i ≠ g

Dalam kasus umum, yang menggunakan i ≠ g, persamaan tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

$P_n=A_1 (1+i)^{-1} + A_1 (1+i)^{-1}\left ( \frac{1+g}{1+i} \right )^{1}+A_1 (1+i)^{-1}\left ( \frac{1+g}{1+i} \right )^{2}+\cdots+A_1 (1+i)^{-1}\left ( \frac{1+g}{1+i} \right )^{n-1}$

Jika

Maka persamaan tersubut akan menjadi

kemudian kalikan persamaan tersebut dengan b

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

dan kurangkan persamaan (P – bP) lalu selesaikan dan akan menjadi

Kemudian ganti kembali a dan b menjadi persamaan yang asli, dan akan menghasilkan

Jadi rumus present worth factor gradien geometri dengan i ≠ g adalah

Sedangkan untuk rumus present worth factor gradien geometri dengan i = g adalah

Contoh Soal

Biaya perawatan sebuah mesin dalam 5 tahun diperkirakan 15 juta dan akan meningkan pada tahun tahun berikutnya secara kosntan sebesar 10 % per tahun. Dengan menggunakan bunga sebesar 8%, hitunglah biaya perawatan mesin tersebut selama 5 tahun pertama (present worth)?

Jawab

dari soal diketahui bahwa

A₁= 15 jut, g = 10%=0,1 dan i = 8% = 0,08 maka dengan menggunakan rumus diatas didapat