Definisi dan Contoh Soal Kernel dan Range Transformasi Linear

Ketika bekerja dengan transformasi $T:R^{m}\rightarrow R^{n}$ dalam Matematika, Anda menemukan bahwa setiap transformasi linear dapat diwakili oleh perkalian dengan matriks.

Pada titik tertentu setelah itu Anda diperkenalkan dengan konsep ruang nol dan ruang kolom dari sebuah matriks. Pada bagian ini kami menyajikan ide analog untuk ruang vektor umum.

Definisi 1: Diberikan $V$ dan $W$ menjadi ruang vektor, dan diberikan $T:V\rightarrow W$ menjadi transformasi. Kami akan menyebut $V$ sebagai domain $T$ , dan $W$ adalah codomain $T$ .

Definisi 2 : Diberikan $V$ dan $W$ menjadi ruang vektor, dan biarkan $T:V\rightarrow W$ menjadi transformasi.

Himpunan semua vektor $v\in V$ yang $TV=0$ adalah subruang dari $V$ Itu disebut kernel $T$ , Dan kami akan menyatakannya dengan $ker(T)$ .
Himpunan semua vektor $w\in W$ sedemikian rupa sehingga $w=Tv$ untuk beberapa $v\in V$ disebut sebagai range $T$ . Ini adalah subruang dari $W$ , dan dinotasikan $ran(T)$ .

Kita perlu membuat beberapa ringkasan tentang hal di atas :

Kernel dan rentang “milik” transformasi, bukan ruang vektor $V$ dan $W$ . Jika kita punya transformasi linear yang lain $S:V\rightarrow W$ , kemungkinan besar kernel dan range berbeda.
Kernel $T$ adalah subruang dari $V$ , dan range $T$ adalah subruang dari $W$ . Kernel dan range “live in different places”.
Fakta bahwa $T$ adalah linier sangat penting untuk kernel dan range menjadi subruang.

Kernel

Dalam matematika, lebih khusus dalam aljabar linier dan analisis fungsional, kernel pemetaan linear, juga dikenal sebagai ruang nol atau nullspace, adalah himpunan vektor dalam domain pemetaan yang dipetakan ke vektor nol.

Yaitu, diberi peta linier $L:V\rightarrow W$ antara dua ruang vektor $V$ dan $W$ , kernel $L$ adalah himpunan semua elemen $v$ dari $V$ yang $L(v)=0$ , di mana $0$ menunjukkan vektor nol dalam $W$ , atau lebih secara simbolis :

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

{\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}{\text{.}}}

Kernel $L$ adalah subruang linear dari domain $V$ . Dalam peta linier $L:V\rightarrow W$ , dua elemen $V$ memiliki gambar yang sama dalam $W$ jika dan hanya jika perbedaannya terletak pada kernel $L$ :

{\displaystyle L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\;\Leftrightarrow \;L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0} {\text{.}}}

Dari sini, dapat disimpulkan bahwa gambar $L$ isomorfik dengan hasil bagi $V$ oleh kernel:

{\mathop {\mathrm {im} }}(L)\cong V/\ker(L){\text{.}}

Dalam kasus di mana $V$ adalah dimensi-terbatas, ini menyiratkan rank–nullity theorem:

\dim(\ker L)+\dim({\mathop {\mathrm {im} }}L)=\dim(V){\text{.}}\,

di mana, dengan peringkat yang kami maksud adalah dimensi dari gambar $L$ , dan dengan nullity dari kernel $L$ .Ketika $V$ adalah ruang produk dalam, hasil bagi ${\frac {V}{ker(L)}}$ dapat diidentifikasi dengan komplemen ortogonal dalam $V\;dari\;ker(L)$ . Ini adalah generalisasi untuk operator linear dari ruang baris, atau coimage, dari sebuah matriks.

Contoh

Temukan $\ker(T)$ di mana $T$ adalah transformasi linear yang diberikan oleh $T:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ dengan matriks standar

$A={\begin{bmatrix}1&-1&3\\5&6&-4\\7&4&2\end{bmatrix}}$

Jawab

Menurut definisi diatas untuk mencari kernel dari $T$ dengan menggunakan definisi bahwa.

Kernel dari peta linear ini adalah sekumpulan solusi untuk persamaan $Ax=0$ .

Karena $det(A)=0$ , $x\neq 0$ dan $0$ adalah vektor di sini.

Dalam bentuk pengurangan baris,

Jadi, $\ker(T)={\begin{bmatrix}-14\\19\\11\end{bmatrix}}$ .

Teorema A Transformasi linier L bersifat injeksi jika dan hanya jika $\ker L=\{0v\}$ .

Bukti teorema ini adalah latihan.

Perhatikan bahwa jika $L$ memiliki matriks $M$ dalam beberapa basis, maka temukan kernel dari $L$ setara dengan memecahkan sistem homogen

$MX=0$

Contoh Diberikan kan $L(x,y)=(x+y,x+2y,y)$ . Apakah L satu-ke-satu (one-to-one)?

Untuk melihat, kita dapat memecahkan sistem linear:

${\begin{pmatrix}1&1\mid 0\\1&2\mid 0\\0&1\mid 0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&0\mid 0\\0&1\mid 0\\0&0\mid 0\end{pmatrix}}$

Maka semua solusi $MX=0$ adalah dalam bentuk $x=y=0$ . Dengan kata lain,

$\ker L=0$ , dan $L$ bersifat injeksi (injective).

Teorema Diberkan $L:V\rightarrow W$ . Kemudian $image\;L(V)$ adalah subruang dari $W$ .

Untuk menemukan basis dari image $L$ , kita bisa mulai dengan basis $S={v_{1},...,v_{n}}$ untuk $V$ , dan simpulkan itu

$L(V)=span\;L(S)=span\;\{v_{1},...,v_{n}\}.$

Namun, himpunan ${v_{1},...,v_{n}}$ mungkin tidak independen secara linear, jadi kami menyelesaikannya

$c^{1}L(v_{1})+...+c^{n}L(v_{n})=0.$

Dengan menemukan hubungan di antara $L(S)$ , kita dapat membuang vektor sampai basisnya

tiba di. Ukuran dasar ini adalah dimensi $im(L)$ , yang dikenal sebagai $rank\;L$ .

Definisi rank transformasi linear $L$ adalah dimensi-nya (dimension) image, ditulis $L$ .

Nolitas (nullity) dari transformasi linear adalah dimensi dari kernel, ditulis $L$ .

Teorema (Formula Dimensi). Biarkan $L:V\rightarrow W$ menjadi transformasi linear, dengan $V$ sebuah ruang vektor berdimensi-terbatas. Kemudian:

${\begin{aligned}\dim V&=\dim \ker V+\dim L(V)\\&=L+rank\;L\\\end{aligned}}$

Range

Kami sekarang mempelajari transformasi linear lebih terinci. Pertama, kami membangun beberapa kosakata penting.

Range transformasi linear $f:V\rightarrow W$ adalah himpunan vektor peta transformasi linear menjadi. Set ini juga sering disebut $image\;f$ ,

tertulis

$ran(f)=Im(f)=L(V)=\{L(v)|v\in V\}\subset W.$

Domain transformasi linear sering disebut gambar awal $f$ .Kita juga dapat berbicara tentang $pre-image$ dari setiap subset vektor $U\subset W:$

$L^{-1}(U)=\{v\in V|L\{v\}\in U\}\subset V$

Transformasi linier $f$ adalah satu-ke-satu jika untuk setiap $x\neq y\in V,f(x)\neq f(y)$ . Dengan kata lain, vektor yang berbeda di $V$ selalu dipetakan ke vektor yang berbeda di

$W$ . Transformasi satu-ke-satu juga dikenal sebagai transformasi injeksi.

Perhatikan bahwa injeksi adalah suatu kondisi pada pre-image $f$ .

Transformasi linear $f$ adalah ke jika untuk setiap (onto) $w\in W$ , ada

$x\in V$ sedemikian rupa sehingga $f(x)=w$ . Dengan kata lain, setiap vektor dalam $W$ adalah image beberapa vektor dalam $V$ . Transformasi ke juga dikenal sebagai surjektiftransformasi.