Pendekantan Limit, Definisi, Contoh soal dengan tabel

Setting Limits: The Importance of Setting Limits for Preschoolers

Konsep limit adalah pusat dalam banyak masalah yang ada di fisika, rekayasa, dan ilmu sosial.

Secara mendasar, apa yang terjadi pada fungsi f(x) ketika x mendekati konstanta c ? Terdapat variasi pada masalah ini, tetapi gagasan dasarnya tetap sama untuk banyak keadaan.

berikut bebarapa penjelasan tentang teori limit mendasar pada pelajaran limit

Limit Mendekati

Kadang-kadang kita tidak dapat menyelesaikan sesuatu secara langsung … tetapi kita dapat melihat apa yang seharusnya ketika kita semakin dekat dan dekat!

Sebagai contoh, tinjau fungsi yang ditentukan oleh rumus berikut,

$f(x)={\frac {x^{3}-1}{x-1}}$

Perhatikan fungsi diatas tidak terdefinisikan oleh $x=1$ karena di titik ini $f(x)={\frac {0}{0}}$ yang tanpa makna. Namun kita masih dapat menyatakan apa yang terjadi pada $f(x)$ ketika $x$ mendekati $1$ .

Secara lebih tepat, apakah $f(x)$ mendekati bilangan tertentu ketika $x$ mendekati $1$ ?

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

Untuk memeperoleh jawabannya, kita dapat melakukan tiga hal. Kita dapat menghitung nilai $f(x)$ untuk $x$ mendekati $1$ , kita dapat mengajukan nilai nilai ini dalam sebuah diagram skematik, dan kita dapat mensketkan grafik $y=f(x)$ .

perhatikan dalam gambar berikut

semua informasi yang telah kita olah kelihatannya memiliki kesimpulan yang sama $f(x)$ mendekati $3$ ketika $x$ mendekati $1$ . Dalam lambang matematis, dilambangkan dengan

{\displaystyle \lim _{x\to 1}={\frac {x^{3}-1}{x-1}}=3}

ini dibaca ” limit ketika $x$ mendekati $1$ dari ${\frac {x^{3}-1}{x-1}}$ adalah $3$ “

Kita dapat menyediakan fakta-fakta yang jauh leih baik dan banyak dengan menuliskan persamaan di atas dengan aljabar

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 1}{\frac {x^{3}-1}{x-1}}&=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}}\\&=\lim _{x\to 1}(x^{2}+x+1)\\&=1^{2}+1+1\\&=3\end{aligned}}}

Perhatikan bahwa ${\frac {x-1}{x-1}}=1$ .

Maka limit dari penjelasan di atas dapat didefinisikan, dengan :

Untuk mengatakan bahwa $\lim _{x\to c}f(x)=L$ , berarti bahwa, ketika $x$ dekat tetapi berlainan dari $c$ , maka $f(x)$ dekat ke $L$ .

Keteranagn : c = konstanta.

Contoh Soal

CONTOH 1 carilah $\lim _{x\to 3}(4x-5)$

PENYELESAIAN

Ketika $x$ mendekati $3$ , maka $4x-5$ dekat terhadap (subtitusikan $x$ dekat ke $3$ pada persamaan $4x-5$ ) maka $4\cdot 3-5=7$ ,

maka kita dapat tuliskan $\lim _{x\to 3}(4x-5)=7$

CONTOH 2 Carilah $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-x-6}{x-3}}$

PENYELESAIAN

Perhatikan bahwa ${\frac {x^{2}-x-6}{x-3}}$ tidak terdefinisi $x=3$ , Maka kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan aljabar.

pertama kita sederhanakn ( factorisasi )bentuk $x^{2}-x-6$ menjadi $(x-3)(x+2)$ , dan hasilnya

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-x-6}{x-3}}&=\lim _{x\to 3}{\frac {(x-3)(x+2)}{x-3}}\\&=\lim _{x\to 3}(x+2)\\&=3+2\\&=5\end{aligned}}}

Penyederhanaan $x-3$ dalam langkah keduadiperoleh karena definisi limit mengabaikan perilak tepat $x=3$ . Ingat ${\frac {x-3}{x-3}}=1$ selama $x\neq 3$ .

Jadi, $\lim _{x\to 3}{\frac {x^{2}-x-6}{x-3}}=5$

CONTOH 3 Carilah $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$

PENYELESAIAN

dari persamaan ${\frac {\sin x}{x}}$ tentu kita tidak boleh mencoret $x$ , Jadi kita perlu mencari dengan menggunakan tabel (Gunakan Kalkulator) seperti berikut

Dan, gambar berikut memeperlihatkan $plot\;y={\frac {\sin x}{x}}$

Jadi, nilai lim $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Penjelesaian lebih lengkapnya disini

CONTOH 4 Carilah $\lim _{x\to 0}\left[x^{2}-{\frac {\cos x}{10000}}\right]$

PENYELESAIAN

Dengan mengikuti prosedur yang digunakan pada contoh 3, kita susun tabel nilai seperti berikut.

Kesimpulan yang diperoleh dari tabel adalah bahwa limit yang di inginkan adalah 0.

Tapi ini salah, Jika kita menggunaan grafik $y=\cos x$ , kita sadari bahwa $\cos x$ mendekati $1$ untuk $x$ mendekati $0$ . Jadi

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}\left[x^{2}-{\frac {\cos x}{10000}}\right]&=0-{\frac {1}{10000}}\\&=-{\frac {1}{10000}}\\\end{aligned}}$

CONTOH 5 Carilah $\lim _{x\to 2}[\left\vert x\right\vert ]$

PENYELESAIAN

Ingat kembalai bahwa $[\left\vert x\right\vert ]$ menyatakan bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama denagn $x$ ( lihat nilai mutlak).

untuk semua bilangan $x$ yang kurang dari 2 tetapi dekat 2, $[\left\vert x\right\vert ]=1$ , tetapi untuk semua bilangan $x$ yang lebih dari 2 tetapi dekat 2, $[\left\vert x\right\vert ]=2$ . Apakah $[\left\vert x\right\vert ]$ dekat pada suatu bilangan $L$ ketika $x$ dekat $2$ ?

Tidak, Berapapun bilangan yang kita misalkan untuk $L$ , akan terdapat sembarang nilai-nilai $x$ yang dekat ke $2$ pada satu pihak atau pihak lainnya, dimana $[\left\vert x\right\vert ]$ berbeda dari $L$ sebesar paling sedikit ${\frac {1}{2}}$ . Kesimpulannya adalah bahwa lim $\lim _{x\to 2}[\left\vert x\right\vert ]$ tidak ada.

CONTOH 6 carilah $\lim _{x\to 0}\sin({\frac {1}{x}})$

PENYELESAIAN

Pertama, ambil sebarisan nilai $x$ mendekati $0$ . Gunakan kalkulator untuk menghitung $\sin({\frac {1}{x}})$ pada semua nilai $x$ , maka nilai-nilai yang muncul adalah nilai yang liar.

Kedua, coba gambarlah grafik $y=\sin({\frac {1}{x}})$ seperti gambar berikut ini.

Diantara titik asal, grafik bergoyang ke atas dan kebawah di antara $-1$ dan $1$ secra tak terhingga banyaknya seperti gambar berikut

Jelas $\sin({\frac {1}{x}})$ tidak berada dekat dengan suatu bilangan $L$ ketika $x$ dekat $0$ . Maka kita simpulkan bahwa $\lim _{x\to 0}\sin({\frac {1}{x}})$ tidak ada.

Limit satu Sisi

ketika fungsi mempunayi lompatan seperti contoh 5, maka limit tidak ada pada setiap titik lompatan. fungsi-fungsi yang demikian menyarankan tahu tentang limit-limit satu-sisi (one-sided limits). Misalkan dilambangkan $x\to c^{+}$ bermakna bahwa $x$ mendekati $c$ dari kanan, dan $x\to c^{-}$ bermakna $x$ mendekati $c$ dari kiri.