Apa itu permutasi matematika dan rumusnya? Permutasi adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang membahas pengaturan dan urutan elemen dalam suatu himpunan. Dengan pemahaman tentang permutasi, kita dapat mengatasi berbagai masalah terkait pengurutan, pengelompokan, dan penempatan elemen-elemen dalam berbagai konteks matematika dan ilmu terapan lainnya.
Dalam artikel ini, kita akan belajar tentang jenis permutasi dalam teori peluang mulai dari rumus hingga contoh soal dan pembahasannya. Kira-kira apa saja ya jenis-jenis permutasi itu? Yuk, simak artikel berikut!
Apa itu Permutasi?
Permutasi, juga dikenal dengan istilah “permutatie” dalam bahasa Belanda dan “permutation” dalam bahasa Inggris, merupakan penyusunan ulang suatu himpunan objek dalam susunan yang berbeda dari susunan awalnya. Sebagai contoh, kata-kata dalam paragraf sebelumnya dapat diatur ulang menjadi “urutan berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari adalah Permutasi.” Proses mengembalikan objek-objek tersebut ke urutan standar (sesuai aturan) dikenal dengan istilah pengurutan (sorting).
Contoh sederhananya seperti ini, jika terdapat suatu urutan kata abcd, maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: seperti acbd, dacb, dan seterusnya.
Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.
abcd abdc acbd acdb adbc adcb
bacd badc bcad bcda bdac bdca
cabd cadb cbad cbda cdab cdba
dabc dacb dbac dbca dcab dcba
Tiap rangkaian baru yang dicatat memuat elemen-elemen yang sama dengan rangkaian awal abcd, tetapi disusun dalam urutan yang berbeda. Karena itu, setiap rangkaian baru dengan urutan yang berlainan dari aslinya disebut sebagai permutasi dari abcd.
1. Permutasi sederhana (n unsur)
Permutasi sederhana adalah pengaturan atau susunan dari elemen-elemen berbeda yang diambil dari suatu himpunan. Dalam permutasi sederhana, urutan atau disposisi dari elemen-elemen tersebut memiliki arti dan perbedaan.
Rumus untuk permutasi sederhana dari n elemen adalah:
![\[ P (n) = n! \]](https://i0.wp.com/risalandi.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b53384e64f4b9c24f4fc201304f03cf_l3.png?resize=81%2C19&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
Di sini, n adalah jumlah total elemen yang akan diatur ulang, dan n! (n faktorial) adalah hasil perkalian dari semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n.
Contoh 1, Misalkan kamu memiliki himpunan A={a,b,c}, maka jumlah permutasi sederhana dari A adalah
Jawab:
![\[ P (3) = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]](https://i0.wp.com/risalandi.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-415c93701f08e55a5523e31880fa183e_l3.png?resize=211%2C19&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
Berikut adalah enam permutasi berbeda dari himpunan tersebut:
- abc
- acb
- bac
- bca
- cab
- cba
Jadi, ada enam cara berbeda untuk mengatur ulang elemen-elemen dalam himpunan A={a,b,c}.
Contoh 2, Untuk menyambut sebuah pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara, panitia akan memasang kelima bendera dari lima negara yang hadir. Banyak cara panitia menyusun kelima bendera tersebut adalah …
Jawab:
Dari lima bendera yang ada, berarti n = 5, maka banyak susunan bendera yang mungkin yaitu:
5! = 5.4.3.2.1 = 120 .
2. Permutasi r unsur dari n unsur
Permutasi r unsur dari n unsur terjadi ketika kita mengambil r elemen dari himpunan n elemen yang berbeda dan mengatur ulang mereka. Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan r ≤ n, banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu.
Rumus untuk permutasi r unsur dari n unsur adalah:
![\[ P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]](https://i0.wp.com/risalandi.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a466d523f4a3d2f681482c2d50bc31ff_l3.png?resize=149%2C45&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
Di sini, n adalah jumlah total elemen dalam himpunan, r adalah jumlah elemen yang akan diambil, n! adalah faktorial dari n, dan (n−r)! adalah faktorial dari selisih antara n dan r.
Contoh kamu memiliki himpunanA={a,b,c,d} dengan 4 elemen. Jika kamu ingin mengambil dan mengatur ulang 2 elemen dari himpunan tersebut (r=2), maka permutasinya adalah:
Jadi, ada 12 cara berbeda untuk mengambil dan mengatur ulang 2 elemen dari himpunan A={a,b,c,d}.
Contoh 2, Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan bendahara dari 8 siswa yang tersedia adalah…
Jawab:
Banyak siswa, n = 8
Ketua, sekretaris dan bendahara (banyak pilihan objek), r = 3
Maka:
Jadi, banyak pilihan pasangan untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan bendahara dari 8 siswa adalah 336 cara.
3. Permutasi dengan n unsur sama dan mengandung p,q,r sama
Permutasi dari n objek yang mengandung p, q, dan r unsur yang sama terjadi ketika kita mengatur ulang n elemen di mana terdapat tiga jenis elemen: p elemen dari satu jenis, q elemen dari jenis kedua, dan r elemen dari jenis ketiga.
Rumus untuk permutasi dari n objek yang mengandung p, q, dan r unsur yang sama adalah:
![\[ P(n; p, q, r) = \frac{n!}{(p! \cdot q! \cdot r!)} \]](https://i0.wp.com/risalandi.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8bf87c158e279c15b8711646cb5ef113_l3.png?resize=205%2C45&ssl=1 "Rendered by QuickLaTeX.com")
Di sini, n adalah jumlah total elemen dalam himpunan, p, q, dan r adalah jumlah elemen dari masing-masing jenis yang sama, dan n!, p!, q!, dan r! adalah faktorial dari n, p, q, dan r masing-masing.
Contoh 1, Misalkan kamu memiliki himpunan A={a,a,b,b,b,c,c,c,c} dengan 9 elemen. Dalam kasus ini, terdapat 2 elemen a, 3 elemen b, dan 4 elemen c. Maka, n=9, p=2, q=3, dan r=4.
Jadi, ada 1260 cara berbeda untuk mengatur ulang elemen-elemen dalam himpunan A={a,a,b,b,b,c,c,c,c} di mana terdapat p=2 elemen dari satu jenis, q=3 elemen dari jenis kedua, dan r=4 elemen dari jenis ketiga.
4. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).
Contoh:
Dari 5 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, banyak cara susunan yang dapat dibuat dari 5 orang tersebut adalah…
Jawab:
Banyak orang (n) = 5, maka :
P = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1
Jadi banyak cara susunan yang dapat dibuat dari 5 orang adalah 24 cara.
