Sistem Koordinat Rektanguler atau Titik dan Garis

Sistem Koordinat Rektanguler alam sebuah bidang, gambarlah dua gari, satu mendatar dan tegak. sedemikian sehingga keduanya berpotongan pada titik $0$ dari kedua garis tersebut. Dua garis tersebut dinamakan sumbu-sumbu koordinat, perpotongan diberi nama $O$ dan disebut titik asal $(0,0)$ .

Menurut perjanjian, garis yang mendatar disebut sumbu- $x$ (x-axis) dan garis tegak disebut sumbu- $y$ (y-axis). Bagian positif di sumbu – $x$ ada di kanan dan pada $y$ ada di atas, sedangkan bagian negatif pada sumbu- $x$ ada di kiri dan pada sumbu- $y$ ada di bawah.

Sumbu sumbu koordinat membagai bidang menjadi empat daerah , disebut kuadran-kuadran, yang diberi label I, II, III, dan IV seperti terlihat pada gambar berikut.

Masing masing titik $P$ di bidang tersebut sekarang dapat dinyatakan dengan sepasang bilangan, yang dinamakan koordiant-koordiant Cartesiusya. Jika garis garis mendatar dan tegak yang melalui $P$ masing masing memotong sumbu- $x$ dan sumbu- $y$ di $a$ dan $b$ maka $P$ mempunayi koordinat $(a,b)$ .

Kita sebut $(a,b)$ suatu pasangan terurut bilangan bilangan karena akan berbeda jika urutannya dibalik. Bilangan pertama $a$ adalah koordinat $x$ dan bilangan kedua $b$ adalah koordinat $y$ .

Rumus Jarak

Bermodalkan pemahamaan tentang koordinat. Kita akan mendapatkan rumus sederhana untuk jarak antara dua titik pada bidang. Ini dikatakan pada Teorema Pythagoras, yang mengatakan jika $a$ dan $b$ adalah panjang dari kedua kaki sebuah segitiga siku-siku dan $c$ adalah sisi miringnya maka

$\Huge a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

Tetapi, hubungan antara ketiga sisi segitiga ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku.

Sekarang perhatikan dua titik $P$ dan $Q$ , masing-masing-masing dengan koordinat dan Bersama denga $R$ dengan koordinat $(x_{2},y_{1})$ . $P$ dan $Q$ adalah titik titik sudut sebuah segitiga siku-siku. Panjang $PR$ dan $RQ$ masing masing $\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert$ dan $\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert$ .

Jika Teorema Pythagoras diterapkan dan diambil akar akar kuadrat utama dari kedua ruas maka diperoleh Rumus Jarak

$\Huge \mathrm{d}(P,\;Q)= \sqrt{\left ( x_{2}-x_{1} \right )^{2}+\left ( y_{2}-y_{1} \right )^{2}}$

**Rumus Titik Tengah (midpoint)**

Tinjau dua titik $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ dengan $x_{1}\leq x_{2}$ dan $x_{1}\leq x_{2}$ , seperti dalam gabar berikut. Jarak antara $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah $x_{2}-x_{1}$ .

Jika kita tambahkan dengan setengah jarak ini, ${\frac {1}{2}}{\bigl (}x_{1}+x_{2}{\bigr )}$ , kita akan memperoleh bilangan setengah jalan antara $x_{1}$ dan $x_{2}$ .

Jadi ${\frac {(x_{1}+x_{2})}{2}}$ berada ditengah-tengah antara $x_{1}$ dan $x_{2}$ pada sumbu- $x$ , dengan demikian titik tengah $M$ dari ruas garis $PQ$ memiliki ${\frac {(x_{1}+x_{2})}{2}}$ sebagai koordinatnya. Dengan cara yang serupa dapat kita perlihatkan bahwa ${\frac {(x_{1}+x_{2})}{2}}$ merupakan koordinat dari $M$ .

Titik-tengah ruas garis yang menghubungkan $P(x_{1},y_{1})$ dan $Q(x_{2},y_{2})$ adalah

$\Huge\left ( \frac {x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \right )$

Garis Lurus

Lihatlah garis pada figure 7. Dari titik $A$ dan $B$ , terdapat suatu kenaikan (perubahan vertikal) sebesar dua satuan dan suatu majuan (perubahan horizontal) sebesar 5 saruan. Dikatakan bahwa garis iti memiliki kemiringan (gradient) , ${\frac {2}{5}}$ .

Umumya (figure 8)untuk sebuah garis yang melalui $A(x_{1},y_{1})$ dan $B(x_{2},y_{2})$ , dengan . $x_{1}\neq x_{2}$ . kita definisikan kemiringan (slope atau gradient) $m$ dari garis itu sebagai

$\Huge m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Apakah nilai untuk kemiringan tergantung kepada titik yang digunakan untuk $A$ dan $B$ ? Segitiga sebangun pada figure 9 memperlihatkan bahwa

{\displaystyle {\frac {y'_{2}-y'_{1}}{x'_{2}-x'_{1}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

Jadi, titik titik $A'$ dan $B'$ akan memenuhi sebagaimana halnya dengan $A$ dan $B$ . Tidak menjadi masalah apabila $A$ terletak di kiri atau kanan $B$ , karena

{\displaystyle {\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

Yang terpenting adalah koordinat-koordinat dikurangkan dalam urutan sama di pembilang dan penyebut.

Kemiringan $m$ adalah ukuran kecuraman suatu garis, seperti diilustrasikan pada figure 10. Perhatikan bahwa, garis mendatar memiliki kemiringan $0$ , garis yang naik ke kanan mempunyai kemiringan positif dan garis yang jatuk ke kanan mempunyai kemiringan negatif.

Semakin besar kemiringannya semakin curan garis tersebut. Konsep kemiringan untuk garis tegak tidak mempunayi arti, karena akan menyangkut pembagian oleh nol. Karenanya, kemirinagn untuk garis tegak dibiarkan tak terdefinisi.

Bentuk Kemiringan-Titik

Lihatlah kembali garis pada pembahasan sebelumnay, kita gamar ulang garis dalam figure 11. Kita ketahui bahwa garis ini

melalui $(3,2)$
mempunyai gradient ${\frac {2}{5}}$

Ambillah sembarang titik lain pada garis itu, misal titik dengan koordinat $(x,y)$ . Jika kita gunakan titik ini dan titik-titik $(3,2)$ untuk mengukur kemiringannya, kita pasti memperoleh ${\frac {2}{5}}$ , yaitu

${\frac {y-2}{x-3}}={\frac {2}{5}}$

atau, setelah mengalikannya dengan $(x-3)$ ,

$(y-2)={\frac {2}{5}}(x-3)$

Perhatikan bahwa persamaan yang terakhir ini dipenhi oleh titik ttik pada garis, bahkan oleh $(3,2)$ . Lebih lanjut, tidak satu pun titik berada pada garis tersebut dapat memenuhi persamaan ini.

Apa yang baru saja dilakukan pada contoh diatas, tentunya dapat dilakukan secara umum. Garis yang melalui titik tetap dengan kemiringan $m$ mempunayi persamaan

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

Ini disebut bentuk kemiringan-titik dari sebauh persamaan garis.

Pandang sekali lagi dari contoh, Garis itu melalui $(8,4)$ seperti halnya $(3,2)$ . Jika $(8,4)$ digunakan sebagai , kita peroleh persamaan

$y-4={\frac {2}{5}}(x-8)$

yang kelihatannya berbeda dari $(y-2)={\frac {2}{5}}(x-3)$ . Namun, keduanya dapat disederhanakan menjadi $5y-2x=4$ ; keduanya setara.

Bentuk Kemiringan-Perpotongan

Persamaan suatu garis dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk. Misalnya diberikan kemiringan $m$ untuk suatu garis dan $b$ perpotongan sumbu- $y$ (artinya, garis memotong sumbu- $y$ di $(0,b)$ )seperti terlihat pada figure 12. Denga memilih $(0,b)$ sebagai dan menerapkan bentuk kemiringan-titik diperoleh

$y-b=m(x-0)$

yang dapat ditulis sebagai

$y=mx+b$

Yang dinamakan kemiringan berpotongan (slope-intercept) Setiap kali melihat persamaan yang ditulis seperti ini. kita mengalikan sebagai garis dan dengan segera dapat mengetahui kemiringan dan perpotongan- $y$ nya, Misal, lihat persamaan

$3x-2y+4=0$

jika diselesaikan dengan bentuk $y$ diperoleh

$y={\frac {3}{2}}x+2$

Ini adalah persamaan garis dengan kemiringan ${\frac {3}{2}}$ dan misalkan $(x=0)$ maka $y=2$ ,jadi perpotonag- $y$ nya adalah $2$ .

Persamaan Garis Tegak

Garis-garis tegak (vertikal) tidak cocok dalam pembahasan di atas karena konsep kemiringan tidak terdefinisikan untk mereka. Tetapi garis tegak tetap mempunayi persamaan, yang sangat sederhana. Garis dalam figure 13 mempunayi persamaan $x={\frac {5}{2}}$ ,

karena sebuah titik berada pada garis jika dan hanya jika memenuhi persamaan ini.

Persamaan sembarang garis tegak pada dilukiskan dalam bentuk $x=k$ , dengan $k$ adalah suatu konstanta. Patutu dicatat bahwa persamaan garis mendatar dapat dilukiskan dalam bentuk $y=k$ .

Bentuk $Ax+Bx+C=0$ akan sangat bermanfaat rasanya apabila kita mempunayi bentuk yang mencakup semua garis, termasuk garis tegak. Sebagai contoh

${\begin{aligned}y-2&=-4(x+2)\\y&=5x-2\\x&=5\end{aligned}}$

Ini dapat ditulis ulang (dengan memindahkan semuanya ke ruas kiri) sebagai berikut

${\begin{aligned}4x+y+6&=0\\-5x+y+2&=0\\x+y-5&=0\end{aligned}}$

Semua contoh diatas berbentuk

$Ax+By+c=0\;\;\;\;A\;dan\;B\neq 0$

yang disebut sebagai persamaan bentuk umum. Hanya perlu waktu yang singkat untuk melihat bahwa persamaan sembarang garis dapat dibuat dalam bentuk ini. Sebaliknya, grafik persamaan linear umum selalu berupa garis.

Garis-garis Sejajar

Garis sejajar adalah dua garis pada bidang datar yang tidak mempunyai titik potong walaupun kedua garis diperpanjang. Secara geometri kesejajaran garis tidak akan pernah bertemu karena mempunyai $m$ (gradien) yang sama.

$m_{1}=m_{2}$

Misalnya, garis-garis dengan persamaan $y=2x+2x$ dan $y=2x+5$ adalah sejajar karena untuk setiap nilai $x$ , garis kedua adalah tiga satuan di atas yang pertama. (lihat figure14). Demikian pula dengan persamaan $-2x+3y+12=0$ dan $4x-6y=5$ adalah sejajar.

Untuk membuktikannya selesaikanlah kedua persamaan ini ke dalam bentuk $y$ . Ini memberikan masing-masing $y={\frac {2}{3}}x-4$ dan $y={\frac {2}{3}}x-{\frac {5}{6}}$ . Lagi-lagi karena kemiringannya sama (dilihat dari kedua persamaan itu memiliki koefisien pada $x-={\frac {2}{3}}$ ),

maka satu garis akan berada di atas garis lain dalam beberapa satuan. Jika dua garis mempunyai kemiringan sama dan perpotongan di $y$ sama.

Garis tegak lurus

Apakah terdapat persyaratan kemiringan yang sederhana yang mencirikan garis-garis yang tegak lurus? Ya, dua garis tak tegak saling tegak lurus jika da hanya jika kemiringan keduanya saling berkebalikan negatif. Untuk melihat mengapa ini benar, lihatlah figure 15.

Untuk menentukan garis bahwa saling tegak lurus denagn syarat