Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Berikut ini cara memecahkan sistem persamaan linear tiga variabel SPLTV menggunakan metode eliminasi, subtitusi dan metode grafik dengan bantuan contoh soal dan penyelesaian.

Memecahkan Persamaan Tiga Variabel pada sistem persamaan linear tiga variabel melibatkan dua atau lebih persamaan, yang masing-masing berisi antara satu dan tiga variabel.

Poin-Poin Utama

1. Dalam sistem persamaan dalam tiga variabel, Anda dapat memiliki satu atau lebih persamaan, yang masing-masing dapat berisi satu atau lebih dari tiga variabel, biasanya dan . Pengenalan variabel berarti bahwa fungsi grafik sekarang mewakili bidang, bukan garis.
2. Metode substitusi melibatkan penyelesaian untuk salah satu variabel di salah satu persamaan, dan memasukkannya ke dalam sisa persamaan untuk mengurangi sistem. Ulangi sampai ada satu persamaan yang tersisa, dan kemudian menggunakan persamaan ini, mundur untuk menyelesaikan persamaan sebelumnya.
3. Grafis melibatkan grafik sistem dan menemukan titik tunggal di mana pesawat bersinggungan.
4. Metode eliminasi melibatkan penambahan atau pengurangan kelipatan satu persamaan dari persamaan lainnya, menghilangkan variabel dari masing-masing persamaan sampai satu variabel tersisa di masing-masing persamaan.

Ketentuan Utama

1. sistem persamaan dalam tiga variabel: Seperangkat satu atau lebih persamaan, yang masing-masing mungkin mengandung lebih dari satu dari tiga variabel biasanya dan .
2. Persamaan: Satu set persamaan dengan beberapa variabel yang dapat dipecahkan menggunakan seperangkat nilai tertentu.

Persamaan dalam Tiga Variabel

Dalam matematika, persamaan simultan adalah seperangkat persamaan yang berisi banyak variabel. Himpunan ini sering disebut sebagai sistem persamaan. Solusi untuk sistem persamaan adalah spesifikasi khusus dari nilai-nilai semua variabel yang secara bersamaan memenuhi semua persamaan. Secara grafis, solusinya adalah di mana fungsi bersinggungan.

Dalam sistem persamaan dalam tiga variabel, Anda dapat memiliki satu atau lebih persamaan, yang masing-masing dapat berisi satu atau lebih dari tiga variabel, biasanya dan . Pengenalan variabel berarti bahwa fungsi grafik sekarang mewakili bidang, bukan garis.

Contoh Sederhana

Ini adalah seperangkat persamaan linear, juga dikenal sebagai sistem persamaan linear, dalam tiga variabel:

Solusi untuk sistem persamaan ini adalah:

Masukkan nilai-nilai ini ke masing-masing persamaan untuk melihat bahwa solusi memenuhi ketiga persamaan.

Memecahkan Persamaan dalam Tiga Variabel

Metode Grafis

Metode grafis memecahkan sistem persamaan dalam tiga variabel melibatkan merencanakan bidang-bidang yang terbentuk ketika membuat grafik setiap persamaan dalam sistem dan kemudian menemukan titik persimpangan dari ketiga bidang. Titik tunggal di mana ketiga pesawat bersinggungan adalah solusi unik untuk sistem.

Untuk mencari grafik dengan mudah dapat menggunakan aplikasi geogebra.

Metode Substitusi

Metode substitusi memecahkan sistem persamaan dalam tiga variabel melibatkan mengidentifikasi persamaan yang dapat dengan mudah ditulis dengan variabel tunggal sebagai subjek (dengan menyelesaikan persamaan untuk variabel itu).

Selanjutnya, gantilah ekspresi itu di mana variabel itu muncul dalam dua persamaan lainnya, dengan demikian memperoleh sistem yang lebih kecil dengan lebih sedikit variabel.

Setelah sistem yang lebih kecil diselesaikan, apakah dengan aplikasi lebih lanjut dari metode substitusi atau dengan metode lain, gantikan solusi yang ditemukan untuk variabel-variabel tersebut kembali ke ekspresi sisi kanan pertama.

Misalnya, perhatikan sistem persamaan ini:

Karena koefisien sudah dalam persamaan pertama, pecahkan untuk mendapatkan:

subtitusikan persamaan ke dalam dua persamaan lainnya:

sederhanakan persamaan tersebut, dan menjadi

Sekarang menyelesaikan dalam persamaan pertama, kita dapatkan:

Ganti ungkapan ini untuk ke dalam persamaan terakhir dalam sistem dan pecahkan untuk :

Sekarang Anda memiliki nilai y, bekerjalah kembali persamaannya. Steker ke dalam persamaan mendapatkan .

Untuk mencari nilai , kita tinggal mensubtitusikan nilai dan ke persamaan pertama

Jadi , hasil akhirnya adalah , dan atau .

Metode Eliminasi

Eliminasi dengan perkalian adalah metode lain yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear simultan.

Ini menggunakan prinsip-prinsip umum bahwa masing-masing sisi persamaan masih sama dengan yang lain ketika kedua belah pihak dikalikan (atau dibagi) dengan jumlah yang sama, atau ketika jumlah yang sama ditambahkan (atau dikurangi) dari kedua sisi.

Ketika persamaan menjadi lebih sederhana melalui penghapusan beberapa variabel, suatu variabel pada akhirnya akan muncul dalam bentuk yang sepenuhnya dapat dipecahkan, dan nilai ini kemudian dapat “disubstitusi kembali” ke dalam persamaan yang diturunkan sebelumnya dengan memasukkan nilai ini ke dalam variabel.

Biasanya, setiap “substitusi balik” kemudian dapat memungkinkan variabel lain dalam sistem untuk dipecahkan.

Mari kita lihat sistem berikut ini:

Dengan menggunakan metode eliminasi, mulailah dengan mengurangi persamaan kedua dengan yang pertama dan menyederhanakan:

Kami sekarang memiliki sistem persamaan berikut:

Sekarang kurangi persamaan ketiga denagn dua kali persamaan pertama

Setelah itu, kita mendapat persamaan baru

Selanjutnya, kurangi dua kali persamaan ketiga dari persamaan kedua dan sederhanakan:

Dan kita mendapat persamaan baru lagi

Akhirnya, kurangi persamaan ketiga dan kedua dari persamaan pertama yang didapat

Karenanya, sistem terakhir yang diselesaikan adalah:

Sistem Tidak Konsisten dan Ketergantungan dalam Tiga Variabel

Sistem persamaan dalam tiga variabel bersifat independen, dependen, atau tidak konsisten; setiap kasus dapat dibuat secara aljabar dan disajikan secara grafis.

Poin-Poin Utama

1. Sistem tanggungan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Secara grafis, jumlah solusi tak terbatas ada pada garis atau bidang yang berfungsi sebagai persimpangan tiga bidang di ruang angkasa.
2. Memecahkan sistem dependen dengan eliminasi menghasilkan ekspresi yang selalu benar, seperti .
3. Sistem yang tidak konsisten tidak punya solusi. Secara grafis, sistem tanpa solusi diwakili oleh tiga bidang tanpa titik yang sama.
4. Memecahkan sistem yang tidak konsisten dengan eliminasi menghasilkan pernyataan yang kontradiksi, seperti .

Ketentuan Utama

1. Sistem independen: Sistem persamaan dengan solusi tunggal. Untuk sistem persamaan dalam tiga variabel, solusi ini adalah tripel berurutan yang mewakili titik persimpangan tunggal tiga bidang.
2. Tanggungan: Suatu sistem persamaan dengan jumlah solusi yang tak terbatas. Untuk sistem persamaan dalam tiga variabel, ada solusi jumlah tak terbatas pada garis atau bidang yang merupakan persimpangan dari tiga bidang dalam ruang.
3. Sistem tidak konsisten: Sistem persamaan tanpa solusi. Sistem persamaan dalam tiga variabel tanpa solusi diwakili oleh tiga bidang tanpa titik yang sama.

Mengidentifikasi Sistem Ketergantungan dan Tidak Konsisten

Ingatlah bahwa solusi untuk sistem linear adalah penugasan angka ke variabel sehingga semua persamaan terpenuhi secara bersamaan. Solusi dari sistem persamaan dalam tiga variabel adalah triple , dan menjelaskan titik di mana tiga pesawat bersilangan di ruang angkasa.

Ada tiga skenario solusi yang mungkin untuk sistem tiga persamaan dalam tiga variabel:

1. Sistem independen memiliki solusi tunggal. Memecahkan sistem dengan menghilangkan hasil dalam triple dipesan tunggal . Secara grafis, triple yang dipesan menentukan titik yang merupakan persimpangan dari tiga bidang di ruang angkasa.
2. Sistem tanggungan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Secara grafis, solusi jatuh pada garis atau bidang yang merupakan persimpangan dari tiga pesawat di ruang angkasa.
3. Persamaan yang tidak konsisten tidak punya solusi. Secara grafis, sistem tanpa solusi diwakili oleh tiga bidang tanpa titik yang sama.

Sekian dari penjelasan mengenai sistem persamaan linear tiga variabel pada artikel kali ini, Jika kalina mencari Sistem persamaan linear dua variabel bisa dilihat disini jika ada kesalahan mohon dimaafkan, terimakasih