Persamaan Variabel Terpisah dan Persamaan Eksak

Post ini akan menjelskan tentang variabel eksak dan terpisah dengan bantuan beberapa contoh soal dan pembuktiannya

Persamaan diferensial tingkat satu atau pangkat satu, dapat di tulis dalam $M\left ( x, y \right )dx + N\left ( x, y \right )dy = 0$

Contoh 1

$\frac{dy}{dx} + \frac{y + x}{y - x} = 0$

dapat ditulis

$\left ( y + x \right )dx + \left ( y - x \right ) = 0$

Contoh 2

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

$\frac{dy}{dx} + \frac{\left ( x - 1 \right )^{2}y}{x^{2}\left ( y + 1 \right )}$

dapat ditulis

$\left ( x - 1 \right )^{2} y dx + x^{2}\left ( y + 1 \right )dy = 0$

Contoh 3

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2}y^{2}}{2x^{3}y}$

dapat ditulis

$3x^{2}y^{2} dx + 2x^{3}y dy = 0$

Contoh 4

$\frac{dy}{dx} + \frac{3x\left ( xy - 2 \right )}{x^{3} + 2y} = 0$

dapat ditulis

$\frac{dy}{dx} + \frac{3x\left ( xy - 2 \right )}{x^{3} + 2y} = 0$

Persamaan diferensial dalam contoh 2 dan 3 dapat di tulis dalam bentuk yang lebih khusus dengan

$f_{1}\left ( x \right )\cdot g_{2}\left ( y \right ) dx + f_{2}\left ( x \right )\cdot g_{1}\left ( y \right ) dy = 0$

Persamaan diferensial seperti ini bisa disebut persamaan diferensial dengan variabel terpisah

Apabila terdapat fungsi U ( x, y ) yang diferensial totalnya memenuhi persamaan

$d U\left ( x, y \right ) = M\left ( x, y \right ) dx + N\left ( x, y \right )$

maka persamaan ini disebut persamaan eksak.

Persamaan pada contoh 3 adalah persamaan eksak karena terdapat fungsi

$U\left ( x, y \right ) = x^{3}y^{2}$

yang diferensial totalnya

$d U\left ( x, y \right ) = dx^{3}y^{2} = 3x^{2}y^{2} + 2x^{3}y dy$

demikian juga pada persamaan pada contoh 4

$\frac{dy}{dx} + \frac{3x\left ( xy - 2 \right )}{x^{3} + 2y} = 0$

sebab terdapat fungsi

$U\left ( x, y \right ) = x^{3}y - 3x^{2} + y^{2}$

yang diferensial totalnya

$d U\left ( x, y \right ) = d\left ( x^{3}y - 3x^{2} + y^{2} \right )$

$= \left ( 3x^{2}y - 6x \right )dx + \left ( x^{3} + 2y \right ) dy$

$= 3x \left ( xy - 2 \right ) dx + \left ( x^{3} + 2y\right )dy$

Persamaan Diferensial dengan variabel terpisah

Suatu persamaan diferensial pangkat satu disebut disebut persamaan diferensial variabl terpisah, dapat ditulis dalam persamaan

$\frac{f_{1}\left ( x \right )}{f_{2}\left ( x \right )}dx + \frac{g_{1}\left ( y \right )}{g_{2}\left ( y \right )}dy = 0$

Dengan mengintegralkan persamaan ini di dapat

$\int \frac{f_{1}\left ( x \right )}{f_{2}\left ( x \right )}dx + \int \frac{g_{1}\left ( y \right )}{g_{2}\left ( y \right )}dy = 0$

Perlu di-ingat bahwa persamaan diatas adalah persamaan integral tak tertentu. Sehingga penyelesaian persamaan diferensial ini akan akan membuat sebuah konstanta sembarang.

Disamping itu, penyelesaiannya tidak selalu mempunyai bentuk eksplisit, tetapi juga umumnya berbentuk implisit.

Persamaan Diferensial Eksak

Misalkan persamaan

$M\left ( x, y \right ) dx + N\left ( x, y \right ) dy = 0$

merupakan persamaan diferensial eksak. Maka terdapat fungsi U (x, y) sedemikian sehingga diferensial totalnya memenuhu persaaan

$d U\left ( x, y\right ) = M\left ( x, y \right )dx + N\left ( x, y \right ) dy$

karena

$d U\left ( x, y\right ) = \frac{\partial U\left ( x, y\right )}{\partial x} dx + \frac{\partial U\left ( x, y \right )}{\partial y} dy = 0$

maka

$M\left ( x, y \right ) = \frac{\partial U\left ( x, y\right )}{\partial x}$

dan

$N\left ( x, y \right ) = \frac{\partial U\left ( x, y\right )}{\partial y}$

dari kedua persamaan ini di dapat

$\frac{\partial M\left ( x, y \right )}{\partial y} = \frac{\partial^{2} U\left ( x, y \right )}{\partial y \partial x}$

dan

$\frac{\partial N\left ( x, y \right )}{\partial y} = \frac{\partial^{2} U\left ( x, y \right )}{\partial x \partial y}$

jika

$\frac{\partial^{2} U\left ( x, y \right )}{\partial y \partial x} \wedge \frac{\partial^{2} U\left ( x, y \right )}{\partial x \partial y}$

kontinu , maka mereka akan sama

$\frac{\partial^{2} U\left ( x, y \right )}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^{2} U\left ( x, y \right )}{\partial x \partial y}$

Jadi, persamaan

$M\left ( x, y \right ) dx + N\left ( x, y \right ) dy = 0$

merupakan persamaan eksak.

Jadi seian penjelsan kita mengenai variabel eksak dan terpisah. Semoga bermanfaat

Persamaan Variabel Terpisah dan Persamaan Eksak

Persamaan Diferensial dengan variabel terpisah

Persamaan Diferensial Eksak

Related

Soal Keliling dan Luas Lingkaran Kelas 6

Rumus Statistika Data Tunggal dalam Matematika

Rumus Permutasi: Konsep, Rumus, dan Contoh

Leave a Reply Cancel reply