Pembuktian, Theorema dan Soal Rumus Limit fungsi Aljabar

Limit adalah gambaran parsial dari gagasan batas dalam matematika. Untuk penggunaan “batas” yang lebih spesifik, lihat Batas urutan dan rumus Batas fungsi.

Dalam matematika, Limit (batas) adalah nilai yang fungsi (atau urutan) “mendekati” sebagai input (atau indeks) “mendekati” beberapa nilai.

Batas sangat penting untuk kalkulus (dan analisis matematika secara umum) dan digunakan untuk mendefinisikan kontinuitas, turunan, dan integral.

Konsep batas urutan selanjutnya digeneralisasikan ke konsep batas jaring topologi, dan terkait erat dengan batas dan batas langsung dalam teori kategori.

Dalam rumus limit, batas fungsi biasanya ditulis sebagai

$\lim _{x\to c}f(x)=L,$

dan dibaca sebagai “batas f x sebagai x mendekati c sama dengan L”. Fakta bahwa suatu fungsi f mendekati batas L ketika x mendekati c kadang-kadang dilambangkan dengan panah kanan (→), seperti pada

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

$f(x)\to L{\text{ as }}x\to c.$

Dalam pengoperasian limit, terdapat beberapa hukum atau teorema limit yang perlu diperhatikan. Berikut rumus rumus untuk limit

Theorema A

Hasil tersebut adalah sifat-sifat pengerjaan pada permasalahan soal limit.

Penerapan Theorema Limit (rumus limit)

Dalam contoh contoh berikut ini, akan menggunakan penerapan dari sifat-sifat diatas (Theorema A)

Contoh 1 Carilah $\lim _{x\rightarrow 3}2x^{4}$

Penyelesaian

Karena tidak ada penyebut pada soal maka kita hanya perlu memasukkan $x=3$ pada persamaan, sehingga

Contoh 2

Carilah $\lim _{x\rightarrow 4}(3x^{2}-2x)$

Penyelesaian

Karena tidak ada penyebut pada soal maka kita hanya perlu memasukkan $x=4$ pada persamaan, sehingga

Contoh 3 Carilah $\lim _{x\rightarrow 4}{\frac {\sqrt {x^{2}+9}}{x}}$

Penyelesaian

Untuk menyelesaiakn limit ini, kita pertaman mencoba untuk memasukkan $x=4$ pada penyebut dalam persamaan, karena penyebut tidak menghasilkan nol maka kita dapat mencari nilai limit dengan memasukkan nilai $x=4$ ke persamaan, sehingga

Contoh 4 Jika $\lim _{x\rightarrow 3}f(x)=4$ dan $\lim _{x\rightarrow 3}g(x)=8$ carilah $\lim _{x\rightarrow 3}\left[f^{2}(x)\cdot {\sqrt[{3}]{g(x)}}\right]$

Penyelesaian

Ingat bahwa fungsi polinomial, $f$ mempunyai bentuk

Sedangkan fungsi rasional $f$ adalah hasil bagi dua fungsi polinomial yakni

Selain theorema A ada Theorema B pada limit yang tidak kalah penting juga

Theorema B

Perhatikan bahwa Theorema B membolehkan kita mencari limit-limit untuk fungsi-fungsi polinomial dan rasioal cukup dengan hanya mensubtitusi $c$ untuk $x$ , asalkan penyebut dari fungsi tidak nol pada $c$ .

Contoh 5 Carilah $\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {7x^{5}-10x^{4}-13x+6}{3x^{2}-6x-8}}$

Penyelesaian

Karena jika kita masukkan $x=2$ pada penyebut $3x^{2}-6x-8\neq 0$ , maka kita dapat mencari limit ini hanya dengan memasukan $x=2$ pada persamaan limit, sehingga

Contoh 6

Carilah $\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{3}+3x+7}{x^{2}-2x+1}}$

Penyelesaian

baik theorema B atau pernyataan 7 dari theorema A tidak berlaku, karena limit dari penyebut $0$ . Karena limit pembilang adalah $11$ , lalu kita lihat bahwa limit mendekati $1$ , karena membagi sebuah bilangan dekat $11$ dengan sebuah bilangan positif dekat $0$ .

Hasilnya sebuah bilangan positif yang besar. Kenyataannya, bilangan yang di hasilkan dapat di buat besar, kita dengan membiarkan $x$ cukup dekat ke $1$ . Kita katakan bahwa limitya tidak ada.

Theorema C

Jika $f(x)=g(x)$ untuk semua $x$ di dalam suatu interval terbuka yang mengandung bilangan $c$ , terkecuali mungkin pada bilangan $c$ sendiri, dan jika $\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ ada, maka $\lim _{x\rightarrow c}f(x)$ ada dan $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\lim _{x\rightarrow c}g(x)$ .

Contoh 7 Carilah $\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}$

Penyelesaian

Pada saat kita memasukkan nilai $x=1$ pada penyebut, karena nilai penyebut setelah kita memasukkan $x=1$ menghasilkan $0$ , maka kita perlu menghilangkan penyebut dengan menyederhanakan, sehingga

Contoh 8 Carilah $\lim _{x\rightarrow 2}{\frac {x^{2}+3x-10}{x^{2}+x-6}}$

Pembahasan

Sama seperti sebelumnya pada saat kita memasukkan nilai $x=2$ pada penyebut dan menghasilkan nilai $0$ maka kita perlu menyederhanakan persamaannya, sehingga

Theorema D (Theorema Apit (Squeeze Theorem))

Misalkan $f,g,dan\;h$ adalah fungsi yang memenuhi $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ untuk semua $x$ dekat $c$ , terkecuali mungkin pada $c$ . Jika $\lim _{x\rightarrow c}f(x)=\lim _{x\rightarrow c}h(x)=L$ maka $\lim _{x\rightarrow c}g(x)=L$ .

Contoh 9 Asumsikan bahwa kita telah membuktikan bahwa $1-{\frac {x^{2}}{6}}\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1$ untuk semua $x$ yang dekat tapi berlainan dengan $0$ . Apa yang kita bisa simpulkan tentang

$\lim _{x\rightarrow c}{\frac {\sin x}{x}}=1$

Penyelesaian

Misalkan $f(x)=1-{\frac {x^{2}}{6}}$ , $g(x)={\frac {\sin x}{x}}$ dan $h(x)=1$ . Menyusul bahwa $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=1=\lim _{x\rightarrow 0}h(x)$ dan akibatnya, menurut teorema C