Definisi, Pembuktian, dan Soal -Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nilai Eigen dan Vektor Eigen dalam aljabar linear beserta pembuktian,metode pengerjaan dengan matriks, contoh soal dan pembahasan.

Dalam Aljabar Linear, Nilai Eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.

Secara geometris, vektor eigen, yang bersesuaian dengan nilai eigen bukan nol nyata, menunjuk ke arah di mana ia diregangkan oleh transformasi dan nilai eigen adalah faktor yang dengannya ia diregangkan.

Jika nilai eigen negatif, arahnya terbalik. Secara longgar, dalam ruang vektor multidimensi, vektor eigen tidak diputar. Namun, dalam ruang vektor satu dimensi, konsep rotasi tidak ada artinya.

Berikut definisi dari Nilai Eigen dan Vektor Eigen beserta soal dan pembahasanya

Nilai dan Vektor eigen dari matriks

Eigen sering diperkenalkan kepada siswa dalam konteks program aljabar linier yang berfokus pada matriks.

Lebih jauh, transformasi linear pada ruang vektor berdimensi-terbatas dapat direpresentasikan menggunakan matriks, yang sangat umum dalam aplikasi numerik dan komputasi.

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

Vektor $n$ -dimensi yang dibentuk sebagai daftar $n$ skalar, seperti vektor tiga dimensi.

{\displaystyle x={\begin{bmatrix}1\\3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad y={\begin{bmatrix}-20\\-60\\-80\end{bmatrix}}.}

Vektor-vektor ini dikatakan sebagai kelipatan skalar satu sama lain, atau paralel atau collinear,

jika ada skalar $\lambda$ sehingga

dalam kasus ini $\lambda =-1/20$ .

Sekarang perhatikan transformasi linear vektor n-dimensi yang didefinisikan oleh $n$ oleh $n$ dari matriks $A$ .

$Av=w,$ atau

${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$

di mana, untuk setiap baris,

$w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}$ .

Jika terjadi bahwa $v$ dan $w$ adalah kelipatan skalar, itu adalah jika

maka $v$ adalah vektor eigen dari transformasi linear $A$ dan faktor skala $\lambda$ adalah nilai eigen yang sesuai dengan vektor eigen itu. Persamaan persamaan nilai eigen untuk matriks $A$ adalah

$(A-\lambda I)v=0,$

di mana $I$ adalah matriks identitas $n\;by\;n$ dan $0$ adalah vektor nol.

Persamaan dan Karakteristik Polinomial

Jika $T$ adalah transformasi linear dari ruang vektor $V$ di atas bidang $F$ ke dalam dirinya sendiri dan $v$ adalah vektor bukan nol dalam $V$ , maka $v$ adalah vektor eigen $T$ jika $T(v)$ adalah kelipatan skalar dari $v$ . Ini dapat ditulis sebagai

$T(v)=\lambda v$

di mana $\lambda$ adalah skalar dalam $F$ , yang dikenal sebagai nilai eigen, nilai karakteristik, atau akar karakteristik yang terkait dengan $v$ .

Ada korespondensi langsung antara matriks persegi $n-by-n$ dan transformasi linear dari ruang vektor n-dimensi ke dalam dirinya sendiri, mengingat dasar ruang vektor apa pun.

Karenanya, dalam ruang vektor berdimensi-terbatas, ini setara dengan mendefinisikan nilai eigen dan vektor eigen menggunakan bahasa matriks atau bahasa transformasi linear.

Jika $V$ adalah dimensi-terbatas, persamaan di atas setara dengan

$Au=\lambda u$

di mana $A$ adalah representasi matriks dari $T$ dan $u$ adalah vektor koordinat dari $v$ .

Persamaan karakteristik dari matriks $A$ adalah persamaan dengan variabel $\lambda$ yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik $f(\lambda )$ ) adalah fungsi dengan variabel $\lambda$ yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut.

$Au=\lambda u$

$Ax-\lambda x=0$

Diketahui sifat identitas matriks di mana $vI=v$ , maka

$(A-\lambda )u=0$

$(A-\lambda I)u=0$

Sehingga diperoleh persamaan karakteristik

$det(A-\lambda I)=0$

Ket: $A$ = matriks $n\times n$ ,

$\lambda$ = nilai Eigen (bernilai skalar),
$I$ = matriks identitas, dan
$u$ adalah vektor Eigen (vektor kolom $n\times 1$ )

Syarat

Mencari egien sendiri memiliki beberapa syarat yang harus dipenuhi, yaitu:

$(A-\lambda I)$ tidak memiliki invers atau $det(A-\lambda I)=0$
$u\neq 0$

Pembuktian

$u=Iu$

Asumsikan bahwa $A$ memiliki invers, maka berlaku $v$ ⁻¹ $v=I$ .

$x=((A-\lambda I)^{-1}(A-\lambda I))x$

$x=(A-\lambda I)^{-1}((A-\lambda I)x)$

$x=(A-\lambda I)^{-1}$ $0$

$x=0$

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh 1 Jika $A={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}$

temukan eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut

Jawab :

$\det(A-I\lambda )=0$

mencari eigen

$(A-I\lambda )$

$\det {\biggl (}{\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \end{bmatrix}}{\biggr )}$

${\begin{vmatrix}-\lambda &1\\-2&-3-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}+3\lambda +2$

nilai, $\det(A-I\lambda )=0$

${\begin{aligned}\lambda ^{2}+3\lambda +2&=0\\(\lambda +1)(\lambda +2)&=0\\\lambda =-1,\lambda =-2\end{aligned}}$

Contoh 2 Temukan nilai dan vektor eigen dari matriks

$A={\begin{pmatrix}1&-3&3\\3&-5&3\\6&-6&4\end{pmatrix}}$

Dalam masalah seperti itu, pertama-tama kita menemukan nilai eigen dari matriks

Mencari Nilai Eigen

Untuk melakukan ini, kami menemukan nilai $\lambda$ yang memenuhi persamaan karakteristik dari

matriks $A$ , yaitu nilai-nilai $\lambda$ yang padanya

$\det(A-\lambda I)=0$

di mana $A$ adalah matriks identitas $3\times 3$ .

Bentuk matriks $A-\lambda I$ :

Perhatikan bahwa matriks ini sama dengan $A$ dengan $\lambda$ dikurangkan dari masing-masing entri di diagonal utama.

Menghitung $\det(A-\lambda I)$ :

Karena itu

$\det(A-\lambda I)=-\lambda ^{3}+12\lambda +16$

Untuk menemukan solusi untuk $\det(A-\lambda I)=0$ pemecahanya adalah

$\lambda ^{3}-12\lambda -16=0$

Dengan metode pemfaktoran pangkat tiga kita mendapat nilai $\lambda =4$ dan $\lambda =-2$

Oleh karena itu, nilai eigen dari A adalah $\lambda =4,-2$ ( $\lambda =-2$ adalah akar berulang dari persamaan karakteristik.)

Mencari Vektor Eigen

Setelah nilai eigen dari matriks $A$ ditemukan, kita dapat menemukan vektor eigen oleh Gaussian Elimination.

LANGKAH 1: Untuk setiap nilai eigen $\lambda$ , yang kita miliki

$(A-\lambda I)x=0,$

di mana $x$ adalah vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen $\lambda$ .

LANGKAH 2: Temukan $x$ dengan eliminasi Gaussian. Artinya, konversikan matriks yang ditambah

$(A-\lambda I=0)$

untuk membentuk baris eselon, dan memecahkan sistem linier yang dihasilkan oleh substitusi kembali.

Kami menemukan vektor eigen yang terkait dengan masing-masing nilai eigen

Kasus 1: $\lambda =4$

Kita harus menemukan vektor $x$ yang memenuhi $(A-\lambda I)x=0$

Pertama, bentuk matriks $A-4\lambda$ :

Setelah itu dan mengubahnya menjadi bentuk eselon baris

Menulis ulang matriks augmented ini sebagai sistem linier

Jadi vektor eigen $x$ diberikan oleh:

Untuk $\lambda =-2$ :

Setelah itu dan mengubahnya menjadi eselon baris
bentuk

Ketika matriks yang diperbesar ini ditulis ulang sebagai sistem linier, kita dapatkan

$x_{1}+x_{2}-x_{3}=0$

jadi vektor eigen $x$ yang terkait dengan nilai eigen $\lambda =-2$ diberikan oleh :

Jadi,

Contoh 3 Misalkan diketahui suatu matriks A berukuran 3 x 3 dengan nilai seperti di bawah ini.

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}$

Penyelesaian

Untuk mencari nilai Eigen akan digunakan polinomial karakteristik dan persamaan karakteristik dari matriks A.

sekarang kita menggunakan penulisan yang berbeda seperti pada contoh sebelumya dengan menambahkan

$f(\lambda )=\det(A-\lambda I)$

Sama seperti sebelumnya, kita mencari

${\begin{aligned}f(\lambda )&=\det \left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-\lambda \cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right)\\&=\det {\begin{pmatrix}-\lambda &1&0\\0&-\lambda &1\\4&-17&8-\lambda \\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

$f(\lambda )=-\lambda \cdot {\begin{bmatrix}-\lambda &1\\-17&8-\lambda \\\end{bmatrix}}-1\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\4&8-\lambda \\\end{bmatrix}}+0\cdot {\begin{bmatrix}0&-\lambda \\4&-17\\\end{bmatrix}}$

${\begin{aligned}f(\lambda )&=-\lambda (-\lambda (8-\lambda )-1(-17))-(0(8-\lambda )-4(1))\\&=-\lambda (-8\lambda +\lambda ^{2}+17)-(-4)\\&=8\lambda ^{2}-\lambda ^{3}-17\lambda +4\end{aligned}}$

Kemudian nilai Eigen dapat dihitung lewat persamaan karakteristik: $f(\lambda )=0$

$-\lambda ^{3}+8\lambda ^{2}-17\lambda +4=0$

$\lambda ^{3}-8\lambda ^{2}+17\lambda -4=0$

(Persamaan karakteristik dapat difaktorkan menggunakan teorema sisa atau teknik pemfaktoran polinomial lainnya)

$(\lambda -4)(\lambda ^{2}-4\lambda +1)=0$

Sama seperti sebelumnya, kita perlu memfaktorkan persamaan tersebut sehingga kita mendapat nilai untuk lambdanya, dan hasilnya

$\lambda _{1}=4,\lambda _{2}=2+{\sqrt {3}},\lambda _{3}=2-{\sqrt {3}}$

Dengan melakukan substitusi nilai Eigen ke dalam persamaan $(A-\lambda I)x=0$ , maka akan diperoleh suatu persamaan baru. $(A-\lambda _{1}I)x=0$

$\left({\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\4&-17&8\\\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}-4&1&0\\0&-4&1\\4&-17&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$

Vektor Eigen untuk masing – masing nilai Eigen kemudian dapat ditentukan dengan melakukan operasi baris elementer atau teknik eliminasi sistem persamaan linear lainnya.

Sehingga akan diperoleh vektor Eigen untuk $\lambda =4$ adalah ${\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}0,0625\\0,25\\1\\\end{pmatrix}}$