Rumus, Sifat dan Contoh Soal Persamaan Kuadrat

Post ini akan membahas tentang aljabar derajat dua (persamaan kuadrat) dan solusinya. Berikut ini penjelasan persamaan kuadrat lengkap dengan contoh soal dan pembahasan meliputi rumus dan sifat-sifatnya den mencari Persamaan Kuadrat Baru

Dalam aljabar, persamaan kuadrat adalah persamaan apa pun yang dapat disusun ulang dalam bentuk standar sebagai

$ax^{2}+bx+c=0$

di mana x mewakili yang tidak diketahui, dan $a,b,\;dan\;c$ mewakili angka yang diketahui, di mana $a\neq 0$ . Jika $a=0$ , maka persamaannya linear, bukan kuadrat, karena tidak ada istilah $ax^{2}$ . Angka-angka $a,b,\;dan\;c$ adalah koefisien dari persamaan,

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan disebut solusi persamaan, persamaan kuadrat memiliki paling banyak dua solusi.

Langkah-langkah mencari solusi x

Langkah untuk mencari solusi PK secara manual atau tanpa menggunakan rumus adalah dimulai dalam bentuk standar

$ax^{2}+bx+c=0$

Bagilah setiap sisi dengan $a$ , koefisien dari $x$ kuadrat.
Kurangi suku konstan ${\frac {c}{a}}$ dari kedua sisi.
Tambahkan kuadrat setengah dari ${\frac {b}{a}}$ , koefisien $x$ , ke kedua sisi. Ini ” untuk melengkapi persaman kuadrat“, mengubah sisi kiri menjadi kuadrat yang sempurna.
Faktorkan persamaan kiri (kuadrat sempurna) dan sederhanakan sisi kanan jika perlu.
Menghasilkan dua persamaan linear dengan menyamakan akar kuadrat dari sisi kiri dengan akar kuadrat positif dan negatif dari sisi kanan.
Selesaikan masing-masing dari dua persamaan linear.

Contoh :

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

$2x^{2}+4x-4=0$

$1) \ x^2+2x-2=0$

$2) \ x^2+2x=2$

$3) \ x^2+2x+1=2+1$

$4) \ \left(x+1 \right)^2=3$

$5) \ x+1=\pm\sqrt{3}$

$6) \ x=-1\pm\sqrt{3}$

Simbol plus-minus ” $\pm$ ” menunjukkan bahwa baik $x=-1+{\sqrt {3}}$ dan $x=-1-{\sqrt {3}}$ adalah solusi dari persamaan kuadratik.

Rumus Kuadrat (Formula kuadratik)

Rumus kuadrat adalah rumus yang digunakan untuk memudahkan mencari solusi dari PK dalam hal ini adalah nilai x.

\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.

Untuk mencari nilai $x$ kita dapat menggunakan rumus ABC cara untuk langkah-langkah menemukan rumus ini dapat di lihat disini :

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Diskriminan

Dalam rumus kuadratik, ungkapan di bawah tanda akar kuadrat disebut diskriminan dari persamaan kuadrat, dan sering direpresentasikan menggunakan huruf besar $D$ atau delta Yunani kasus :

$\Delta = b^2 - 4ac.$

Sifat – sifat Akar PK

Misalkan $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah solusi dari PK $a^{2}+bx+c=0$ dengan $D>0$ , maka $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}$ atau $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}$ . Kita dapat memperluas nilai tersebut menjadi rumus menjadi

Hasil Jumlah Akar (x₁+ x₂)

Dengan menggunakan rumus ABC kita dapt dengan mudah mencari hasil jumlah akar akar PK dengan cara sebagai berikut

Hasil Kali Akar (x₁. x₂)

Seperti penjumlah rumus ABC juga dapat mencari hasil perkaliannya berikut langkah-langkah mencari Hasil kali akarnya

Selisih Akar (x₁– x₂)

Contoh Soal dan Pembahasan

Masalah 1: Selesaikan untuk $x$ : $x^{2}-3x-10=0$

Penyelesaian:

Mari kita nyatakan $-3x$ sebagai jumlah $-5x$ dan $+2x$ .

${\begin{aligned}x^{2}-5x+2x-10&=0\\x(x-5)+2(x-5)&=0\\(x-5)(x+2)&=0\\x-5&=0\\x+2&=0\\\end{aligned}}$

Jadi solusi untuk nilai $x$ untuk $x^{2}-3x-10=0$

$x=5\;atau\;x=-2$

Masalah 2: Selesaikan untuk $x:\;x^{2}-18x+45=0$

Penyelesaian :

Angka-angka yang menambahkan $-18$ dan memberi $+45$ ketika dikalikan adalah $-15$ dan $-3$ . Menulis ulang persamaan,

${\begin{aligned}x^{2}-15x-3x+45&=0\\x(x-15)-3(x-15)&=0\\(x-15)(x-3)&=0\\x-15&=0\\atau\\x-3&=0\\\end{aligned}}$

Jadi solusi untuk nilai $x$ untuk $x^{2}-18x+45=0$ adalah $x=15\;atau\;x=3$

Masalah 3: Selesaikan untuk $x:\;11x^{2}+18x+7=0$

Penyelesaian :

Kita menggunakan rumus ABC untuk soal ini

$a=11,\;b=18,\;dan\;c=7$ , maka

${\begin{aligned}{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}&={\frac {-18\pm {\sqrt {18^{2}-4\times 11\times 7}}}{2\times 11}}\\&={\frac {-18\pm {\sqrt {321-308}}}{22}}\\&={\frac {-18\pm {\sqrt {16}}}{22}}\\&={\frac {-18\pm 4}{22}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-18+4}{22}}\\&={\frac {-14}{22}}\\&={\frac {-7}{11}}\\\end{aligned}}$ dan ${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-18-4}{22}}\\&={\frac {-2}{22}}\\&=-1\\\end{aligned}}$