Soal dan Pembahasan | Fungsi dan Relasi

Berikut ini beberapa contoh tentang soal relasi dan fungsi dengan cara penyelesaian penjelasan secara bertahap dan lengkap untuk SMP dan SMA.

CONTOH 1 Relasi yang tepat untuk diagram berikut adalah

JAWAB

Relasi yang tepat adalah “setengah dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
pertama, 1 merupakan setengah dari 2;
kedua, 2 merupakan setengah dari 4;
terakhir, 3 merupakan setengah dari 6;

CONTOH 2 Relasi yang tepat untuk menjelaskan hubungan himpunan Q ke himpunan P adalah

JAWAB

Relasi yang tepat adalah “pangkat tiga dari”, sebagaimana dinyatakan oleh hubungan:
pertama, 1 merupakan pangkat tiga dari 1;
kedua, 8 merupakan pangkat tiga dari 2;
terakhir, 27 merupakan pangkat tiga dari 3.

CONTOH 3 Perhatikan relasi berikut!

${\begin{cases}{(1,a),(2,a),(3,a),(4,a)}\\{(2,b),(3,c),(4,d),(2,e)}\\{(3,6),(4,6),(5,10),(3,12)}\\{(1,5),(3,7),(5,9),(3,11)}\end{cases}}$

manakah relasi di atas yang termasuk pemetaan (fungsi)?

JAWAB

Pada bentuk pasangan berurut (a,b), a disebut anggota domain, sedangkan b disebut anggota range.
Suatu relasi disebut sebagai pemetaan (fungsi) apabila setiap anggota domain mempunyai tepat satu (harus satu) pasangan dengan anggota kodomain.
Pertama, semua anggota domain memiliki pasangan tepat satu ke kodomainnya, sehingga disebut fungsi.
Kedua, anggota domain yakni 2 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
Ketiga, anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
Keempat, anggota domain yakni 3 memiliki dua pasangan, sehingga bukan termasuk fungsi.
Jadi, jawabanya Relasi yang himpunan pertama.

CONTOH 4 Dari keempat himpunan berikut:

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

${\begin{cases}P={(1,1),(2,0),(2,1)}\\Q={(1,1),(3,2),(5,2)}\\R={(5,a),(5,b),(4,c)}\\S={(1,6),(1,5),(1,4)}\end{cases}}$

Manakah yang disebut fungsi (pemetaan)?

JAWAB

Suatu himpunan pasangan berurut termasuk fungsi apabila setiap anggota domain memiliki tepat satu pasangan ke anggota kodomain.
P bukan termasuk fungsi karena anggota domain 2 memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut (2,0) dan (2,1).
Q termasuk fungsi karena setiap anggota domain memiliki tepat satu pasang ke anggota kodomain.
R bukan termasuk fungsi karena anggota domain 5 memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut (5,a) dan (5,b).
S bukan termasuk fungsi karena anggota domain 1 memiliki lebih dari satu pasangan, yakni pada pasangan berurut (1,6),(1,5) dan (1,4).

CONTOH 5 Diketahui $A=\{a,b,c\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5\}$ . Banyak pemetaan yang mungkin dari $A$ ke $B$ adalah ⋯⋅

JAWAB

Diketahui:

$A=\{a,b,c\}$ dan $B=\{1,2,3,4,5\}$

Kita peroleh $n(A)=3$ dan $n(B)=5$ , sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari $A$ ke $B$ adalah $n(B)^{n(A)}=5^{3}=125$ .

CONTOH 6 Diketahui $A=\{faktor\;dari\;6\}$ dan $B=\{kelipatan\;2\;yang\;kurang\;dari\;8\}$ . Banyak pemetaan yang mungkin dari $B\;ke\;A$ adalah

JAWAB

Tuliskan dulu seluruh anggota himpunan A d a n B {\displaystyle A\;dan\;B} $A\;dan\;B$ .

$A=\{1,2,3,6\}$ dan $B=\{2,4,6\}$

Kita peroleh $n(A)=4$ dan $n(B)=3$ , sehingga banyak pemetaan yang mungkin dari $B\;ke\;A$ adalah $n(A)^{}=4^{3}=64$ .

CONTOH 7 Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus $f(x)=3-5x$ . Nilai $f(-4)$ adalah

JAWAB

Diketahui: $f(x)=3-5x$

Dari $f(-4)$ sebstitusikan menjadi $x=-4$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=3-5x\\f(-4)&=3-(5\times -4)\\&=3-(-20)\\&=3+20\\&=23\\\end{aligned}}$

Jadi, hasil dari $f(-4)=23$

CONTOH 8 Diketahui rumus fungsi $f(x)=6-3x$ . Nilai dari $f(5)+f(-4)$ adalah

JAWAB

Diketahui: $f(x)=6-3x$ .

Substitusikan $f(5)\longrightarrow x=5$ sehingga diperoleh

$f(5)=6-3(5)=6-15=-9$

Substitusikan $f(-4)\longrightarrow x=-4$ , sehingga diperoleh

$f(-4)=6-3(-4)=6+12=18$

Jadi, hasil dari $f(5)+f(-4)=-9+18=9$

CONTOH 9 Diketahui fungsi $f(x)=3x^{2}-2x-5$ . Nilai $f(3)$ adalah

JAWAB

Diketahui $f(x)=3x^{2}-2x-5$

Subtitusikan $f(3)\longrightarrow x=3$

${\begin{aligned}f(x)&=3x^{2}-2x-5\\f(3)&=3(3)^{2}-2\times 3-5\\&=3(9)-6-5\\&=27-6-5\\&=16\end{aligned}}$

Jadi $f(3)=16$ .

CONTOH 10 Diketahui $f(x)=6x-5$ . Nilai $f(3a+1)$ adalah

JAWAB

Diketahui $f(x)=6x-5$

Subtitusikan $f(3a+1)\longrightarrow x=3a+1$

${\begin{aligned}f(x)&=6x-5\\f(3a+1)&=6(3a+1)-5\\&=18a+6-5\\&=18a+1\end{aligned}}$

Jadi nilai dari $f(3a+1)=18a+1$ .

CONTOH 11 Fungsi $f$ dinyatakan dengan $f(x)=3x+5$ . Hasil dari $f(2b-3)$ adalah

JAWAB

Diketahui: $f(x)=3x+5$ .

Substitusikan $f(2b-3)\longrightarrow x=2b-3$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=3x+5\\f(2b-3)&=3(2b-3)+5\\&=6b-9+5\\&=6b-4\end{aligned}}$

Jadi, hasil dari $f(2b-3)=6b-4$

CONTOH 12 Diketahui fungsi $f(x)$ linear. Jika fungsi $f(3x+2)=6x+10$ , nilai $f(-5)$ adalah

JAWAB

Diketahui: $f(3x+2)=6x+10$

Akan dicari nilai $x$ berikut.

${\begin{aligned}f(3x+2)&=f(-5)\\3x+2&=-5\\3x&=-5-2\\3x&=-7\\x&=-{\frac {7}{3}}\end{aligned}}$

Substitusikan $x=-{\frac {7}{3}}$ pada $f(x)$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(3x+2)&=6x+10\\f(3(-{\frac {7}{3}})+2)&=6(-{\frac {7}{3}})+10\\f(-7+2)&=2(-7)+10\\f(-5)&=-14+10\\f(-5)&=-4\end{aligned}}$

Jadi, nilai dari $f(-5)=-4$

CONTOH 13 Suatu fungsi dirumuskan oleh $f(3x+3)=(x-4)(x+10)$ . Nilai dari $f(21)$ adalah

JAWAB

Diketahui $f(3x+3)=(x-4)(x+10)$

Mencari nilai $x$ dengan

${\begin{aligned}f(3x+3)&=f(21)\\3x+3&=21\\3x&=21-3\\3x&=18\\x&={\frac {18}{3}}\\x&=6\end{aligned}}$

Subtitusikan nilai $x=6$ sehingga

${\begin{aligned}f(3x+3)&=(x-4)(x+10)\\f(3(6)+3)&=(6-4)(6+10)\\f(18+3)&=(2)(16)\\f(21)&=32\\\end{aligned}}$

Jadi nilai dari $f(21)=32$ .

CONTOH 14 Diketahui rumus fungsi $f(x)=2x+5$ . Jika $f(a)=11$ , nilai $a$ adalah

JAWAB

Diketahui $f(x)=2x+5$ dan $f(a)=11$

Substitusikan

${\begin{aligned}f(x)&=f(a)\\x&=a\end{aligned}}$ ,

sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=2x+5\\f(a)&=2a+5\\11&=2a+5\\11-5&=2a\\6&=2a\\{\frac {6}{2}}&=a\\a&=3\\\end{aligned}}$

Jadi, nilai $a=3$ .

CONTOH 15 Suatu fungsi $f(x)=4x-1$ , $f(a)=-9$ , dan $f(2)=b$ . Nilai $a-b$ adalah

JAWAB

Diketahui: $f(x)=4x-1$ .

Dari $f(a)=-9$ substitusikan $x=a$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=4x-1\\f(a)&=4a-1\\-9&=4a-1\\-9+1&=4a\\-8&=4a\\-{\frac {8}{4}}&=a\\a&=-2\end{aligned}}$

Jadi, $a=-2$

Substitusikan $x=2$ dari $f(2)=b$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(2)&=b\\4(2)-1&=b\\8-1&=b\\7&=b\end{aligned}}$

Jadi, $b=7$

$a-b=-2-7=-9$

Dengan demikian, hasil dari $a-b=-9$ .

CONTOH 16 Fungsi $f$ dinyatakan dengan rumus $f(x)=4x+3$ . Jika $f(a)=7$ dan $f(-2)=b$ , maka nilai $a+b$ adalah

JAWAB

Diketahui: $f(x)=4x+3$ .

Substitusikan $x=a$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=4x+3\\f(a)&=4a+3\\7&=4a+3\\7-3&=4a\\4&=4a\\{\frac {4}{4}}&=a\\a&=1\end{aligned}}$

Jadi, $a=1$

Substitusikan $x=-2$ dari $f(-2)=b$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(-2)&=b\\4(-2)+3&=b\\-8+3&=b\\-5&=b\end{aligned}}$

Jadi, $b=-5$

$a+b=1+(-5)=-4$

Dengan demikian, hasil dari $a+b=-4$ .

CONTOH 17 Diketahui rumus fungsi $f(x)=2x-3$ . Jika $f(m)=5$ dan $f(-2)=n$ , maka nilai $m+n$ adalah

JAWAB

Diketahui: $f(x)=2x-3$ .

Substitusikan $x=m$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=2x-3\\f(m)&=2m-3\\5&=2m-3\\5+3&=2m\\8&=2m\\{\frac {8}{2}}&=m\\m&=4\end{aligned}}$

Jadi, $m=4$

Substitusikan $x=-2$ dari $f(-2)=n$ , sehingga diperoleh

${\begin{aligned}f(-2)&=n\\2(-2)-3&=n\\-4-3&=n\\-7&=n\end{aligned}}$

Jadi, $n=-7$

$m+n=4+(-7)=-3$

Dengan demikian, hasil dari $m+n=-3$ .

CONTOH 18 Suatu fungsi $f$ dirumuskan dengan $f(x)=px+q$ . Jika $f(2)=5$ dan $f(-2)=-11$ , nilai dari $f(-6)$ = adalah

JAWAB

Untuk $x=2$ , diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=px+q\\f(2)&=2p+q\\5&=2p+q\end{aligned}}$

Untuk $x=2$ , diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=px+q\\f(-2)&=-2p+q\\-11&=-2p+q\end{aligned}}$

Diperoleh ${\begin{cases}2p+q=5\\-2p+q=-11\\\end{cases}}$

Dengan menggunakan metode eliminasi, diperoleh

${\begin{aligned}2p+q&=5\\-2p+q&=-11\\\_\_\_\_\_\_&\_\_\_\_\_\_\_\_-\\4p+0q&=16\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}4p&=16\\p&=4\\\end{aligned}}$

Selanjutnya, substitusikan $p=4$ pada salah satu persamaan,

${\begin{aligned}2p+q&=5\\2(4)+q&=5\\8+q&=5\\q&=5-8\\q&=-3\end{aligned}}$

Jadi, nilai $p=4$ dan $q=-3$ .

Dengan demikian, $f(x)=4x-3$ .

Untuk $x=-6$ , diperoleh

${\begin{aligned}f(x)&=4x-3\\f(-6)&=4(-6)-3\\f(-6)&=-24-3\\&=-27\end{aligned}}$

Jadi nilai dari $f(-6)=-27$

Soal dan Pembahasan | Fungsi dan Relasi

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

JAWAB

Related

Soal Keliling dan Luas Lingkaran Kelas 6

Rumus Statistika Data Tunggal dalam Matematika

Rumus Permutasi: Konsep, Rumus, dan Contoh

Leave a Reply Cancel reply