Pembuktiaan, Soal - Rumus ABC Persamaan Kuadrat

Rumus ABC-Seringkali, cara paling sederhana untuk menyelesaikan ” $a^{x}2+bx+c=0$ ” untuk nilai $x$ adalah dengan faktor kuadratik , atur setiap faktor sama dengan nol, dan kemudian selesaikan setiap faktor.

Tetapi kadang-kadang kuadrat itu terlalu berantakan, atau itu tidak menjadi faktor sama sekali, atau Anda hanya merasa tidak ingin mempertimbangkan. Walaupun anjak piutang mungkin tidak selalu berhasil, Formula Quadratic (rumus abc) selalu dapat menemukan solusinya.

Formula Quadratic menggunakan “ $a$ “, “ $b$ “, dan “ $c$ ” dari “ $ax^{2}+bx+c$ “, di mana “ $a$ “, “ $b$ “, dan “ $c$ ” hanya angka ; mereka adalah “koefisien numerik” dari persamaan kuadrat yang telah mereka berikan untuk Anda pecahkan.

Formula Quadratic berasal dari proses menyelesaikan kuadrat, dan secara resmi dinyatakan sebagai:

Dari bentuk umum persamaan kuadrat, $ax^{2}+bx+c=0\,\!$

$a\neq 0\,\!$

Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Pembuktian rumus abc

Dari bentuk umum persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0\,\!$

bagi kedua ruas untuk mendapatkan $a=1$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0,\,\!$

Pindahkan ${\frac {c}{a}}$ ke ruas kanan

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}\,\!$

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}\,\!$

Pindahkan $-{\frac {b^{2}}{4ac}}$ ke ruas kanan

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\,\!$

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\,\!$

Kedua ruas diakar, sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

Pindahkan $-{\frac {b}{2a}}$ ke ruas kanan

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

sehingga didapat rumus kuadrat

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ atau

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ .

$D$ adalah diskriminant

Penggunaan Rumus ABC

Rumus persamanan kuadrat ABC selain digunakan untuk menghitung solusi dari akr-akar persamaan kuadrat tapi juga dapat digunakan untuk mencari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. dengan

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

$y=0\,\!$ .

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

$y=ax^{2}+bx+c\,\!$

dapat dituliskan menjadi

$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,\!$ .

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}\,\!$

dan

$x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}\,\!$ .

Contoh Soal

Contoh 1 selesaikan cari solusi untuk $x$ : $x^{2}+3x-4=0$

Jawab:

jadi saya sudah tahu bahwa solusinya adalah $x=-4$ dan $x=1$

Bagaimana solusi saya terlihat dalam Formula Quadratic? Menggunakan $a=1$ , $b=3$ , dan $c=-4$ , solusi saya terlihat seperti ini :

${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {3\pm {\sqrt {3^{2}-4.1.-4}}}{2.1}}\\&={\frac {3\pm {\sqrt {9+16}}}{2}}\\&={\frac {3\pm {\sqrt {25}}}{2}}\\&={\frac {3\pm 5}{2}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {3+5}{2}}\\&={\frac {8}{2}}\\&=4\end{aligned}}$ dan ${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {3-5}{2}}\\&={\frac {-2}{2}}\\&=-1\end{aligned}}$

$2x^{2}-4x-3=0$

Jawab

$a=2,\;b=-4,\;c=-3$

${\begin{aligned}x_{1,2}&={\frac {4\pm {\sqrt {4^{2}-4.2.-3}}}{2.2}}\\&={\frac {4\pm {\sqrt {16+24}}}{4}}\\&={\frac {4\pm {\sqrt {40}}}{4}}\\&={\frac {4\pm 2{\sqrt {10}}}{4}}\\&={\frac {2\pm {\sqrt {10}}}{2}}\\\end{aligned}}$