Bukti, Rumus, Tabel, Soal - Rumus dan Teorema Pythagoras

Teorema dan rumus Pythagoras Teorema Pythagoras adalah topik penting dalam Matematika khususnya pada kelas 8 SMP, yang menjelaskan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Ini juga kadang-kadang disebut Pythagoras. rumus teorema pythagoras dan bukti ini dijelaskan di sini dengan contoh-contoh.

Teorema ini pada dasarnya digunakan untuk segitiga siku-siku dan dengan mana kita dapat memperoleh rumus dasar, tegak lurus dan miring. Mari kita pelajari teorema ini secara rinci di sini.

Pernyataan Teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras menyatakan bahwa “Dalam segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari dua sisi lainnya”. Sisi-sisi segitiga ini dinamai Perpendicular, Base dan Hypotenuse.

Di sini, sisi miring adalah sisi terpanjang, karena berlawanan dengan sudut 90 °. Sisi-sisi segitiga siku-siku (katakanlah x, y dan z) yang memiliki nilai integer positif, ketika kuadrat, dimasukkan ke dalam persamaan, juga disebut triple Pythagoras.

Contoh teorema berdasarkan pernyataan yang diberikan untuk segitiga siku-siku diberikan di bawah ini:

Perhatikan segitiga siku-siku, yang diberikan di bawah ini:

Temukan nilai x.

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

$x$ adalah sisi yang berlawanan dengan sudut kanan, maka itu adalah sisi miring.

Sekarang, dengan teorema kita tahu

$Hypotenuse^{2}=Base^{2}+Perpendicular^{2}$

${\begin{aligned}x^{2}&=8^{2}+6^{2}\\&=64+36\\&=100\\x&={\sqrt {100}}\\x&=\pm 10\end{aligned}}$

Karena di dalam penerapannya tidak ada nilai negatif maka kita dapat simpulkan bahwa panjang garis miringnya adalah $10$

Oleh karena itu, kami menemukan nilai hypotenuse.

Rumus Teorema Phytagoras

Perhatikan segitiga yang diberikan di atas:

Di mana ” $a$ ” adalah sisi tegak lurus (perpendicular side),

” $b$ ” adalah dasarnya (base),

“ $c$ ” adalah sisi miring (hypotenuse side).

Menurut definisi tersebut, rumus phytagoras diberikan sebagai:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Jika panjang a dan b diketahui, maka c dapat dihitung sebagai

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Jika panjang sisi miring c dan satu sisi (a atau b) diketahui, panjang yang lain dapat dicari dengan

$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$ atau $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.$

Pembuktian Pytagoras

Dalam membuktikan kebenaran dari teorema phytagoras, kami menggunkan dua pembuktian yang berbeda, kesatu, menggunakan segitiga yang sejenis dan kedua menggunkan pembuktian bentuk ajabar.

1. Segitiga sejenis

Bukti: Pertama, kita harus menjatuhkan BD tegak lurus ke sisi AC

Kita mencari persamaan pertama yang diketahui dari, $\bigtriangleup ADB\sim \bigtriangleup ABC$

Oleh karena itu, ${\frac {AD}{AB}}={\frac {AB}{AC}}$ (Kondisi untuk kesamaan)

kita mendapat persamaan pertama, dari ${\frac {AD}{AB}}={\frac {AB}{AC}}$ kita dapat rubah bentuknya menjadi $AB^{2}=AD\times AC$

Dan kita dapat mencari persamaan kedua dari, $\bigtriangleup ADB\sim \bigtriangleup ABC$

Oleh karena itu, ${\frac {CD}{BC}}={\frac {BC}{AC}}$ (Kondisi untuk kesamaan)

Atau, ${\frac {CD}{BC}}={\frac {BC}{AC}}$ kita ubah menjadi $CD\times AC=BC^{2}$ untuk persamaan kedua,

Langkah selanjutnya kita dapat menjumlahkan persamaan kesatu dan kedua, sehingga kita mendapat persamaan

${\begin{aligned}AB^{2}+BC^{2}&=AD\times AC+CD\times AC\\AB^{2}+BC^{2}&=AC(AD+CD)\end{aligned}}$

Dari gambar diatas kita dapat mengetahui bahwa $AD+CD=AC$

Sehingga kita dapat, mensubtitusikan $AD+CD=AC$ ke persamaan $AB^{2}+BC^{2}=AC(AD+CD)$ , kita adakn mendapat

${\begin{aligned}AB^{2}+BC^{2}&=AC(AD+CD)\\AB^{2}+BC^{2}&=AC(AC)\\AB^{2}+BC^{2}&=AC^{2}\end{aligned}}$

Oleh karena itu, teorema Pythagoras terbukti.

2 Aljabar

Segitiga mirip dengan luas daerah ${\tfrac {1}{2}}ab$ , sedangkan kotak kecil memiliki sisi b − a dan area (b − a)². Oleh karena itu luas persegi panjang $(b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.$

Tapi ini adalah persegi dengan sisi c dan luas c², jadi $c^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Ini menghasilkan kotak yang lebih besar, dengan sisi a + b dan luas (a + b)². Keempat segitiga dan sisi persegi c harus memiliki area yang sama dengan persegi yang lebih besar, $(b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,$

memberikan $c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.$

Seperti gambar berikut ini penjelasan dengan animasinya.

Penerapan Pythagoras

Pythagoras dapat diterapkan di segala bidang. Kita dapat menggunakannya untuk mengukur panjang atau jarak pada sistem koordinat, dan mengecek kesikuan pada benda menggunkan pythagoras. Misal, dengan menggunkannya sebagai untuk menentukan panjang diagonal sisi dan diagonal ruang. Berikut contoh soal mengenai Pythagoras

Tentukan jarak dua titik berikut ini

1. a. $(10,20),(13,16)$

${\begin{aligned}d&={\sqrt {(13-10)^{2}+(16-20)^{2}}}\\&={\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}}}\\&={\sqrt {9+16}}\\&={\sqrt {25}}\\&=5\end{aligned}}$

b. $(15,37),(42,73)$

${\begin{aligned}d&={\sqrt {(42-15)^{2}+(73-37)^{2}}}\\&={\sqrt {27^{2}+36^{2}}}\\&={\sqrt {729+1296}}\\&={\sqrt {2025}}\\&=45\\\end{aligned}}$

c. $(-19,-16),(-2,14)$

${\begin{aligned}d&={\sqrt {(-2-(-19))^{2}+(14-(-16))^{2}}}\\&={\sqrt {17^{2}+30^{2}}}\\&={\sqrt {289+900}}\\&={\sqrt {1189}}\\&=34,48\\\end{aligned}}$

2. Sebuah segitiga dengan titik-titik $A(-1,5),B(-1,1)$ dan $C(2,1)$ . Apakah segitiga itu adalah segitiga siku-siku

Iya, ini adalah segitiga siku-siku

3. Carilah luas daerah berikut ini

Untuk mencari luas bangun diatas kita perlu mencari luas segitiga dan luas setengah lingkaran,

tinggi segitiga kita anggap sebagai $t$

${\begin{aligned}t&={\sqrt {20^{2}-16^{2}}}\\&={\sqrt {400-256}}\\&={\sqrt {144}}\\&=12\end{aligned}}$

luas segitiga adalah

${\begin{aligned}\blacktriangle &={\frac {1}{2}}a\times t\\&={\frac {1}{2}}\times 16\times 12\\&=8\times 12\\&=96\\\end{aligned}}$

$t$ adalah diameter lingkaran juga jadi bisa digunakan untuk mencari luas setengah lingkaran dan untuk luas setengah lingkaran adalah

${\begin{aligned}\bigcirc &={\frac {1}{2}}\pi r^{2}\\&={\frac {1}{2}}\pi 6^{2}\\&={\frac {1}{2}}\pi 36\\&=18\times \pi \\&=56,54\end{aligned}}$

Jadi luas bangun diatas adalah luas segitiga ditambah luas setengah lingkaran, maka

${\begin{aligned}Total&=96+56,54\\&=152,54\end{aligned}}$

Luas daerahnya adalah $152,54\;cm^{2}$

b. Untuk mencari luas bangun ini kita perlu mencari luas kedua segitiga siku siku ini.

untuk $\bigtriangleup ACD$ kita perlu mencari panjang $CD$ dengan

${\begin{aligned}CD&={\sqrt {20^{2}-12^{2}}}\\&={\sqrt {400-144}}\\&={\sqrt {256}}\\&=16\end{aligned}}$

Luas $\bigtriangleup ACD$ adalah

${\begin{aligned}\bigtriangleup ACD&={\frac {1}{2}}\times 12\times 16\\&=6\times 16\\&=96\\\end{aligned}}$

Luas $\bigtriangleup ACB$ adalah

${\begin{aligned}\bigtriangleup ACB&={\frac {1}{2}}\times 20\times 15\\&=10\times 15\\&=150\\\end{aligned}}$

Jadi, luas bangun diatas adalah $\bigtriangleup ACD$ ditambah $\bigtriangleup ACB$

${\begin{aligned}&=96+150\\&=246\\\end{aligned}}$

Jadi luas bangun diatas adalah $246\;cm^{2}$

3. Seorang penyelam mengikat dirinya pada tali sepanjang $25m$ untuk mencari sisa-sisa bangkai pesawat di dasar laut. Laut diselami memiliki kedalaman $20m$ dan dasarnya rata. Berapakah luas daerah yang mampu di jangkau penyelam tersebut.

Dari pertanyaan diatas, penyeleam diikat dengan tali sepanjang $25m$ dan kedalam $20m$ , maka menurut logika, penyelam itu akan membentuk lingkaran jika dia ingin menjangkau daerah lain dengan maksimal. Kita perlu mencari jarak terpanjang (jari jari lingkaran itu) .

Jadi jarak maksimal yang dapat dicapai adalah menggunkan theorema pythagoras dan menggunakan apa yang diketahui di soal

${\begin{aligned}r&={\sqrt {25^{2}-20^{2}}}\\&={\sqrt {625-400}}\\&={\sqrt {125}}\\&=15\\\end{aligned}}$

jarak maksimalnya adalah $15m$ , dan daerahnya adalah lingkaran, luas lingkaran itu adalah

${\begin{aligned}\bigcirc &=2\times \pi \times 15^{2}\\&=2\times \pi \times 225\\&=450\times \pi \\&=1.413,71\\\end{aligned}}$

Jadi, luas daerah yang dapat dijangkau adalah $1.413,71m^{2}$

Tabel Tripel Pythagoras

Untuk menguji triple phytagoras selain rumus yang dijelaskan pada pembahasan sebelumnya adalah dengan menggunakan Panjang sisi segitiga siku siku nya adalah $(a^{2}+b^{2})$ , $(a^{2}-b^{2})$ , dan $2ab$ .