Rumus, Pembuktian dan Soal Faktor Gradien Aritmatika

Berikut ini penjelasan lengkap mengenai gradien aritmatika meliputi pembuktian, definisi, cara mencari rumus dan penurunan rumus beserta dengan contoh soal di ekonomi teknik.

Selain aliran kas deret seragam, terdapat aliran kas dengan pembayaran atau pemasukan setiap akhir periode bertambah secara seragam dari periode sebelumnya.

Misalkan dilakukan pembayaran sebesar 0 pada akhir periode pertama, G pada akhir periode kedua, 2G pada akhir periode ketiga, 3G pada akhir periode ke-4 demikian seterusnya sampai (n-1)G pada akhir tahun ke-n. Jika tingkat suku bunga yang berlaku i%, maka nilai ekuivalensi pada akhir periode ke-n adalah

Seringkali terjadi bahwa rangkaian arus kas tidak berjumlah A. Sebaliknya, ada seri yang meningkat secara seragam seperti yang ditunjukkan:

Arus kas dari formulir ini dapat diselesaikan menjadi dua komponen:

Perhatikan bahwa dengan menyelesaikan masalah dengan cara ini, arus kas pertama dalam aritmatika seri gradien menjadi nol. Hal ini dilakukan agar G adalah perubahan dari masa ke masa, dan karena deret gradien (G) biasanya digunakan bersama deret seragam (A).

Kita sudah memiliki persamaan untuk P ‘, dan kita perlu menurunkan persamaan untuk P “. Dengan cara ini, kita akan mampu menulis

Penurunan Rumsu Gradient Aritmatika

Gradien aritmatika adalah rangkaian peningkatan arus kas sebagai berikut:

Nilai F untuk penjumlahan arus kas = F^1 + F^{II}+ \cdots +F^{IV}, seperti gambar

Atau dengan menggunakan bentuk rumus dapat menjadi

Untuk mencari bentuk sederhana kita bisa kalikan dengan (1+i), sehingga

Sekarang kita kurangkan persamaan II-I sehingga menjadi

Dari hasil diatas kita sekarang perlu mesederhanakan bentuknya dengan rumus deret seragam, sehinggan menjandi

Jadi, rumus untuk Gradien Aritmatika adalah

Dari rumus diatas kita dapat turunkan lagi seoerti dibawah ini

Mencari nilai P

Penurunan rumus F untuk mencari nilai P (Present Worth atau nilai pokok)

Jadi notasinya dapat ditulis sebagai

Mencari Nilai A

Penurunan rumus F untuk mencari nilai A atau Aliran kas pada akhir periode yang besarnya sama untuk beberapa periode yang berurutan (Membentuk deret seragam)

Contoh Soal 1

Seorang pria telah membeli mobil baru. Dia ingin menyisihkan cukup uang di rekening bank untuk membayar perawatan mobil selama 5 tahun pertama. Diperkirakan pemeliharaannya biaya mobil (Rp.) adalah sebagai berikut:

Asumsikan biaya pemeliharaan terjadi pada akhir setiap tahun dan bank membayar bunga 5%. Berapa deposito yang harus disetor pemilik mobil di bank sekarang?

Pembahasan

Dari yang diketahui di soal kita bisa terjemahkan ke dalam diagram alir kas menjadi

Setelah itu kita bisa pecah diagram tersebut menjadi 2 bagian dan menjumlahkanya, seperti

Kedua komponen tersebut mewakili arus kas yang menghasilkan faktor bunga majemuk. pertama adalah seri seragam nilai ulang, dan yang kedua adalah seri gradien aritmatika:

Jadi, Pria itu perlu mendepositokan uangnya sebesar Rp. 7.665.900,00.

Contoh Soal 2

Pada sebuah mesin tertentu, diperkirakan biaya pemeliharaan adalah sebagai berikut:

Berapa biaya pemeliharaan tahunan seragam yang setara untuk mesin jika bunga yang digunakan adalah 6%?

Pembahasan

Dari tabel diatas kita bisa terjemahkan ke dalam bentuk diagram arus kas, seperti gambar dibawah ini

Dari diagram alir kas diatas bisa kita pecah menjadi 2 bagian sehingga

Untuk mencari nilai A kita hanya perlu menjumlahkan kedua diagram alir kas diatas dengan menggunakan rumus penurunan yang di atas mencari nilai A, sehingga

Jadi biaya pemeliharaan tahunan seragam yang setara untuk mesin adalah Rp. 2.427.000,00.

Contoh Soal 3

Sebuah pabrik tekstil di India memasang sejumlah alat tenun baru. Diharapkan perawatan awal itu biaya dan pengeluaran untuk perbaikan akan tinggi dan kemudian akan menurun selama beberapa tahun. Diproyeksikan biaya adalah:

Berapa proyeksi pemeliharaan tahunan yang setara, dan biaya perbaikan jika bunganya 1O%?

Pembahasan

Sekarang jika perawatanya menurun kita bisa pecah diagram alir kas diatas menjadi dua bagian dan kurangkan seperti

Sekarang kita kurangkan dengan rumus penurunan sebelumnya, sehingga

Jadi biaya proyeksi pemeliharaan tahunan yang setara adalah Rp. 1.571.400,00.

Kesimpulan

Jadi cumu segini pembahasan kita mengenai Gradien Aritmatika dan contoh soal beserta pembahasannya jika ada kesalahan dan pertanyaan bisa di tulis di kolom komentar. Semoga Bermanfaat !!!