Asal Mula, Sifat, Periode dan Grafik-Fungsi Trigonometri

Trigonometri, mungkin kalian telah mengenal definisi fungsi ini pada penerapan segitiga siku-siku. (figure 1) adalah definisi secara singkat dari fungsi-fungi sinus ( $\sin$ ), cosinus ( $\cos$ ), dan tangen ( $\tan$ ).

Secara umum, kita dapat mendefinisikan fungsi trigonometri berdasarkan lingkaran satuan. Lingkaran satuan, yang kita nyatakan dalam $C$ , adalah lingkaran dengan jari-jari $1$ dengan pusat di tiik asal; ini mempunayi persamaan $x^{2}+y^{2}=1$ , misalkan $A$ adalah titik $(1,0)$ dan $t$ bilangan positif.

Maka terdapat satu titik tunggal $P(x,y)$ pada lingkaran $C$ sedemikian sehingga panjang busur $AP$ , yang diukur menurut arah berlawanan dengan putaran jarum jam dari $A$ adalah $t$ . (figure 2) keliling $C$ adalah $2\pi$ .

Pertama, jika $t=\pi$ , maka titik $P$ tepat setengah jalan , mengelilingi lingkaran mulai dari titik $A$ ; dalam kasus ini $P$ adalah titik $(-1,0)$ .

Kedua, jika $t={\frac {3\pi }{2}}$ , maka $P$ adalah titik $(0,1)$ dan jika $t=2\pi$ , maka $P$ adalah titik $A$ . jika ${\displaystyle t>2\pi }”> diperlukan lebih dari satu putaran lengkap dari lingkaran satuan untuk menelusuri busur <img decoding=$ .

Ketiga, jika , kita telusuri lingkaran dalam arah putaran jarum jam. Akan terdapat satu titik tunggal $P(x,y)$ pada lingkann $C$ sedemikian rupa sehingga panjang busur yang diukur dalam arath putaran jarum jam dari $A$ adalah $t$ .

Jadi untuk setiap bilangan real $t$ . kita dapat membuat titik unik $P(x,y)$ pada lingkara satuan. Ini mermbolehkan kita untuk membuat definisi kunci dari fungsi sinus dan kosinus. Fungsi sinus dan kosinus dituliskan sebegai $\sin$ dan $\cos$ .

Affiliate Banner Unlimited Hosting Indonesia

Oleh karena itu, definisi dari sinus dan cosius, Misalkan $t$ bilangan real yang menentukan titik $P(x,y)$ seperti yang dijelaskan diatas, maka

$\sin t=y\;dan\;\cos t=x$

Sifat dasar Radian

Untuk menggunakan fungsi trigonometri, pertama-tama kita harus memahami cara mengukur sudut.

Meskipun kita dapat menggunakan radian dan derajat, radian adalah pengukuran yang lebih alami karena mereka terkait langsung dengan lingkaran satuan, lingkaran dengan jari-jari 1.

Ukuran sudut radian didefinisikan sebagai berikut. Diberikan sudut $\theta$ , mari menjadi panjang busur yang sesuai pada lingkaran satuan (Gambar).

Kami mengatakan sudut yang sesuai dengan busur panjang 1 memiliki ukuran radian 1.

Karena sudut $360^{\circ }$ sesuai dengan keliling lingkaran, atau busur dengan panjang $2\pi$ , kami menyimpulkan bahwa sudut dengan ukuran derajat $360^{\circ }$ memiliki ukuran radian $2\pi$ .

Demikian pula, kita melihat bahwa $180^{\circ }$ setara dengan $\pi$ radian. Tabel menunjukkan hubungan antara derajat umum dan nilai radian.

Enam Fungsi Dasar Trigonometrik

Fungsi trigonometri memungkinkan kita untuk menggunakan ukuran sudut, dalam radian atau derajat, untuk menemukan koordinat titik pada lingkaran apa pun tidak hanya pada lingkaran satuan atau untuk menemukan sudut yang diberi titik pada lingkaran. Mereka juga mendefinisikan hubungan antara sisi dan sudut segitiga.

Untuk menentukan fungsi trigonometri, pertama-tama pertimbangkan lingkaran satuan yang berpusat di titik asal dan titik $P=(x,y)$ pada lingkaran satuan.

Misalkan $\theta$ menjadi sudut dengan sisi awal yang terletak di sepanjang sumbu- $x$ positif dan dengan sisi terminal yang merupakan segmen garis $OP$ . Sudut pada posisi ini dikatakan berada pada posisi standar (Gambar $2$ ).

Kami kemudian dapat mendefinisikan nilai-nilai dari enam fungsi trigonometri untuk $\theta$ dalam hal koordinat $x$ dan $y$ .

Misalkan $P=(x,y)$ menjadi titik pada lingkaran satuan yang berpusat pada titik asal $O$ .

Misalkan $\theta$ menjadi sudut dengan sisi awal sepanjang sumbu- $x$ positif dan sisi terminal yang diberikan oleh segmen garis $OP$ .

Fungsi trigonometri kemudian didefinisikan sebagai

1. $\sin \theta ={\frac {sisi\;depan\;sudut}{sisi\;miring}}={\frac {y}{1}}$

2. $\cos \theta ={\frac {sisi\;alas}{sisi\;miring}}={\frac {x}{1}}$

3. $\tan \theta ={\frac {sisi\;depan\;sudut}{sisi\;alas}}={\frac {y}{x}}$

4. $\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {1}{y}}$

5. $\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{x}}$

6. $\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {x}{y}}$

Jika $x=0$ , $\sec \theta$ dan $\tan \theta$ tidak ditentukan. Jika $y=0$ , $\sec \theta$ dan $\tan \theta$ tidak terdefinisi.

Kita dapat melihat bahwa untuk titik $P=(x,y)$ pada lingkaran jari-jari $r$ dengan sudut yang sesuai $\theta$ , koordinat $x$ dan $y$ memenuhi

${\begin{aligned}\cos \theta &={\frac {x}{r}}\\x&=r\cos \theta \\\end{aligned}}$

dan

${\begin{aligned}\sin \theta &={\frac {y}{r}}\\y&=r\cos \theta \\\end{aligned}}$

Nilai-nilai fungsi trigonometri lainnya dapat dinyatakan dalam bentuk $x,y$ dan $r$ .

Dari tabel ini, kita dapat menentukan nilai sinus dan kosinus pada sudut alpha yang sesuai di kuadran lain. Nilai fungsi trigonometri lainnya dihitung dengan mudah dari nilai $\sin \alpha$ , $\cos \alpha$ dan $\tan \alpha$ .

Grafik dan Periode Fungsi Trigonometri

Kita telah melihat bahwa ketika kita melakukan perjalanan mengelilingi lingkaran satuan, nilai-nilai fungsi trigonometri berulang. Kita dapat melihat pola ini dalam grafik fungsi.

Misalkan $P=(x,y)$ menjadi titik pada lingkaran satuan dan misalkan $\theta$ menjadi sudut yang sesuai. Karena sudut $\theta$ dan $\theta +2\pi$ sesuai dengan titik $P$ yang sama, nilai fungsi trigonometri pada $\theta$ dan pada $\theta +2\pi$ adalah sama.

Akibatnya, fungsi trigonometri adalah fungsi periodik. Periode fungsi $f$ didefinisikan sebagai nilai positif terkecil $p$ sehingga $f(x+p)=f(x)$ untuk semua nilai $x$ dalam domain $f$ .

Fungsi sinus, kosinus, garis potong, dan cosecant memiliki periode $2\pi$ . Karena fungsi tangen dan kotangen berulang pada interval panjang $\pi$ , periode mereka adalah $\pi$ .